Riemann 猜想漫谈 (十八)

作者：卢昌海
　　
　　三十二.从模算术到有限域
　　
　　“山寨版”Riemann猜想这枚坚果该从哪里啃起呢？为了彰显将科普进行到底的决心，让我们从中小学算术啃起吧！
　　
　　这并不是搞笑，在它背后其实有一段小小的故事——一段与美苏冷战有关的故事。故事发生在半个多世纪前的1957年。那一年，苏联先于美国将一颗人造卫星送入了近地轨道，迈出了航天时代的第一步。这一在太平年代可以令全人类共同自豪的成就，由于发生在冷战时期，带给美国的乃是巨大的震动和反思。作为反思的结果之一，美国初等教育界兴起了一场以革新教材为主旨的所谓“新数学”运动(NewMath)，试图“从娃娃抓起”，加强教育、奋起直追。在这场运动中，许多原本晚得多才讲述的内容被加入到了中小学教材中，其中包括公理化集合论(axiomaticsettheory)、模算术(modulararithmetic)、抽象代数(abstractalgebra)、符号逻辑(symboliclogic)等[注一]。这种“拔苗助长”般的革新不仅远远超出了普通中小学生的接受能力，甚至也超出了一部分中小学教师的教学能力，因此只尝试了几年就被放弃了。不过对我们来说，这场“小跃进”式的“新数学”运动却是一个很好的幌子，让我们能够宣称从中小学算术开始本节的科普，因为我们将要介绍的“山寨版”Riemann猜想，可以从“新数学”当中的一种——模算术——说起。
　　
　　模算术的一个典型的题目是：现在时钟的时针指向7，请问8小时之后时针指向几？这个题目与“7+8=?”那样的传统小学算术题的差别，就在于时钟上的数字是以12为周期循环的，从而不存在大于12的数字。这种带有“周期”的算术题就是典型的模算术题目，它通常被表述为“7+8=?(mod12)”，其中的“(mod12)”表示以12为周期，而这周期的正式名称叫做“模”(modulus)，模算术之名因此而来[注二]。
　　
　　模算术是数论中一种很有用的工具，数学大腕Euler、Joseph-LouisLagrange(1736-1813)、Legendre等人都使用过，但对它的系统研究则要归功于Gauss。1801年，这位被后世尊为“数学王子”，且当时正值“王子”年龄(24岁)的数学家在其名著《算术探讨》(DisquisitionesArithmeticae)中系统性地运用了模算术，证明了许多重要命题，并为后世奠定了该领域的若干标准术语。由于讲述模算术的最通俗例子就是上面所举的有关时钟的题目，因此模算术也称为“时钟算术”(clockarithmetic)，而为了纪念Gauss对这一领域的巨大贡献，那时钟则被一些科普作家称为Gauss时钟(Gaussclock)。
　　
　　Gauss时钟所包含的刻度数目不一定非得像普通时钟那样为12，而完全可以是其它数目。事实上，对于我们的真正兴趣而言，刻度数目为12的Gauss时钟是一个很糟糕的例子，因为在它上面虽然可以进行加减法和乘法，但作为乘法逆运算的除法却并不总能够进行的(请读者自行证实这一点)。在数学上，一个集合如果元素之间加、减、乘、除全都可以进行，而且无论怎么折腾，都像孙悟空翻不出如来佛掌心一样，仍在那集合之中，我们就会给它一个专门的名称，叫做域(field)[注三]。域的概念在数学上有很大的重要性，并且也是我们真正感兴趣的东西，因为我们熟悉的有理数、实数、以及表述Riemann猜想时用到过的复数的集合全都是域，即将介绍的“山寨版”Riemann猜想也离不开域。而所含刻度数目为12的Gauss时钟由于无法保证除法的进行，便无法用来表示域，从而是一个很糟糕的例子。
　　
　　对于域，我们可以将之粗略地分为两类：一类是像有理数、实数和复数的集合那样所含元素数目为无限的，另一类则是所含元素数目为有限的。这两类域各有一个很直白的名字，前者叫作无限域(infinitefield)，后者叫做有限域(finitefield)。我们真正感兴趣的东西粗略地讲是域，确切地说其实是有限域，因为它在某些方面比无限域来得简单，从而是构筑“山寨版”东西的好材料。
　　
　　虽然所含刻度数目为12的Gauss时钟——如前所述——无法用来表示域，但某些Gauss时钟确实可以用来表示域——当然，这里的域是指有限域。比如，有限域的一个最简单的例子就是只含0和1两个刻度的Gauss时钟(请读者自行列出这个有限域中的加、减、乘、除结果)，这个有限域通常记为F2——下标2表示元素的数目(等同于Gauss时钟的刻度数目)。

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