作者：学夫子
在《从黄金分割比推菲波拉契数列》一文中。我们谈到，可以通过黄金分割比的连分数来倒推菲波拉契数列，以看清菲波拉契数列和黄金分割比之间的本质关系，要用到的，就是连分数的概念。为了方便，在这里提一下：
得到连分数以后，在某一步停止，就得到逐渐趋近于原数的一系列收敛子的有理分数：
这些分数都交替性地趋近于1.618……而我们发现，上面的分子和分母都是一组菲波拉契数列，让我们知道，原来是黄金分割比产生了菲波拉契数列，不过今天我们将要来看，其实，任何数的连分数，其实从一个角度，都是和菲波拉契数列有关系的。
假设数可以写成下面的连分数形式
一般情况下我们为了美观，我们写成下面的浓缩形式：
相应的可以得到一系列近似值的有理分数，其中ak称之为该连分数的第k个商数，现在我们有下面的性质：
如果有连续三个有理分数分别为p/q,r/s,t/v,那么：
r/s=(p-t)/(q-v)
也就是说，对于连续的三个收敛子，第一个与第三个的分子和分母分别相减，得到的分数等于中间的分数。不过，得到的分数并不是(p-t)/(q-v)，而需要将它进行约分。化到最简……比如我们最喜欢最神秘的圆周率π的收敛子：
我们可以用非常巧妙的办法来证明这个结论，设连续的第一个分数为m，我们现在将m看成原数的“整数部分”，若第二个分数所对应的商数为ak，第三个分数所对应的商数为ak+1，那么这三个分数就是：
利用这组式子，就可以证明我们上面的结论。并且我们发现：
性质1：如果ak+1等于1，那么中间分数的分母就是前后两个数的分母之差，分子就是前后两个分数的分子之差，而无需约分；如果ak+1不等于1，那么就需要约掉ak+1。这就促使我们这样去想，如果在所有的收敛子中，都不涉及到约分，那么任何一个分数的分母就是前两个分数的分母之和，分子就是分子之和……那么所有分母或者分子这不就是传说中的菲波拉契数列么？根据我们前面的分析，要想实现这样的效果，就必须使得所有的ak+1都等于1，而这，就刚好是我们的黄金分割比的连分数：
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