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连分数与不定方程

来源:不详       更新时间:2013-3-10 21:44:12
 

  作者:学夫子
  
  今天说的,是关于连分数里一个很古老的内容,那就是关于不定方程ax+by=c的解,其大体思想就是对分数a/b进行连分数展开,利用该连分数的最后两个渐进分数对其求解,相关的概念请先参考《连分数及其几何意义》。
  
  我们首先还得介绍连分数的一个性质,假设数M展开后的连分数为:
  
  为了方便,我们一般写成下面的浓缩形式:
  
  对于一个有理数,其连分数的项数是有限的,除外都是无限的,假设其第k个渐进分数为pk/qk,那么有下面的性质
  
  。……………………………………①
  
  比如0.5306的连分数及其对应的渐进分数:
        
  2×8-1×15=1;15×9-8×17=-1;17×26-9×49=1;……
  
  证明过程网上很多,比如维基百科里的词条《连分数》。
  
  我们现在回过头来看我们的不定方程ax+by=c(a和b为互质的整数)。我们必须先明白这样一个道理:
  
  对于不定方程ax+by=c,若a和b互质,则此不定方程一定有整数解,若(x0,y0)是这个方程的一个解,则此方程的解可表为:(x0-bt,y0+at),其中t为任意整数。所以解此类不定方程就归结为求解初始解的问题。
  
  现在将a/b展开为连分数形式,由于a/b为有理数,所以其连分数项数必定有限,现在设最后两个渐进分数为:
  
  实际上最后一个渐进分数就是a/b本身,由于他们都是最简分数,所以pk=a,qk=b。根据式子①我们有:
  
  为了方便,我们取+1,,对于-1的情况,可依葫芦画葫芦。即aqk-1-bpk-1=1,带入不定方程ax+by=c,然后化简得到:
  
  也就是说,(cqk-1,-cpk-1)是该不定方程的一个解,那么整个不定方程的解就是:
  
  将上式的x和y都解出来:
  
  这就是这个不定方程ax+by=c的解的结构。当然,上面的所有,都是当式子①中取1的时候,若取的是-1,则另当别论。而是取-1还是1是由a/b连分数的项数决定,若项数为偶数,则为1,若是奇数,则为

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