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杨辉三角的兄弟 Rascal Triangle
来源：不详       更新时间：2013-3-15 13:44:59
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如果给出下面三角形，问下一行应该填什么？想必很多人都会填写“14641”，因为规律很明显，不就是杨辉三角么？
　　
　　而有三个外国中学生给出了不同的答案，他们的文章《TheRascalTriangle》发表在2010年的《THECOLLEGEMATHEMATICSJOURNAL》。
　　
　　文章先是设计了一个教学场景（三个作者不是一个学校的），老师很不满意他们给出的答案“14541”，告诉他们3+3应该等于6，而不是等于5。
　　
　　学生解释：我们定义的规则有所不同，除了每行两端都为1之外，其余每个数都等于肩上两数相乘，加1，除以头顶上（即再上一行对应位置上）的数，譬如第5行的4=(1×3+1)/1，5=(3×3+1)/2。
　　
　　老师提出疑问，所给规则最后用到除法，那能否保证生成的数阵，每一个数都是整数？如果是杨辉三角，那就简单，整数相加总是整数。而若所得不是整数，则这样的定义规则显然是不完美的。
　　
　　学生给出了巧妙的证明。将数阵旋转45°，得
　　
　　这样一来，数阵中的每一个位置对应哪个数就更好表述了。行数列数都从0开始，则第m行第n列的数是mn+1，第m行为：1，m+1，2m+1，...，nm+1。
　　
　　上式除以mn+1，所得(m+1)(n+1)+1正好是第m+1行第n+1列的数。根据数学归纳法可知所有数都是整数。
　　
　　非常难得的是，这三个中学生完成文章之后，还在OEIS搜索，结果发现这个结论是之前没有的。（来源：彭翕成与数学传播博客）

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