沙漏计时·线性组合·恒等变形

作者：彭翕成
　　
　　煮一个鸡蛋要15分钟，现在用两个沙漏，一个是7分钟，另一个是11分钟，问最简单的定时方法是什么？
　　
　　单只用一个沙漏显然不行。那该如何组合为好？假设7分钟的沙漏用x次，11分钟的沙漏用y次，可列方程7x+11y=15容易看出其中一组解为x=-1，y=2。还有其他整数解，譬如x=-12，y=9，但数字较大，不采用。
　　
　　实际操作：同时启用两个沙漏，7分钟沙漏走完时开始煮蛋，那么当11分钟沙漏走完时，鸡蛋已经煮了4分钟，再次启动11分钟沙漏，则可煮熟鸡蛋。
　　
　　问题是不是就此解决了呢？
　　
　　没有，至少不是解决得不是很完美。
　　
　　题目问的是“最简单的定时方法”，我们给出的方法确实是简单的，容易想到，容易操作。但却不是最省时的方法，因为花费22分钟才测量出所需要的15分钟，这其中的时差7分钟，到底是无可避免的损耗，还是可以想办法节约的？
　　
　　华罗庚先生曾用烧水喝茶为例，阐述了合理安排可节约时间。接下来我们也来尝试一下。
　　
　　如果我们将数学式子11×2-7=15变形为11+7-（7×2-11）=15，形式上看起来更复杂，但却是能节约时间的。
　　
　　实际操作：
　　
　　（1）两个沙漏同时开始计时，7分钟的沙漏漏完后把它翻转过来。此时11分钟沙漏还剩4分钟。（到此共花费7分钟）
　　
　　（2）11分钟沙漏漏完后再把7分钟沙漏翻过来，本来7分钟沙漏还剩3分钟，翻过来后还剩4分钟。（到此共花费11分钟）
　　
　　（3）等7分钟沙漏漏完就是所需要的15分钟了。
　　
　　这种操作没有一分钟的浪费，对于肚子饿了，想快点吃鸡蛋的朋友可以采纳，虽然操作起来要复杂一点。
　　
　　此题常作为趣味题出现，我认为完全可以在课堂教学中讲讲。笛卡尔不是设想希望将任何问题转化为数学问题，然后转化为代数问题，再化归为单个方程的求解么？我觉得这就是一个很好的例子。而之后的恒等变形也很有意思，看似便繁，实则化简。
　　
　　思考题：用4分钟和7分钟沙漏测量9分钟。
　　
　　提示：4×4-7=9