物理学中著名的恒等式和不等式 |
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来源:不详 更新时间:2013-3-22 16:26:10 |
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物理学之守恒定律最重要的有三:能量守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒定律,均以相应的等式表示。任何物理过程,其总能量、总动量和总角动量过程前后必须相等,差一点也不行。科学家爱追根究底:能量、动量、角动量为什么守恒?德国著名女数学家诺特(A.E.Noether,1882-1935)证明的“诺特定理”给出了回答,这三个守恒定律均与时空性质有密切关系。能量守恒由于时间平移不变性,动量守恒由于空间平移不变性,角动量守恒由于空间旋转不变性。换言之:能量、动量、角动量之守恒分别为时间、空间、方向均匀性之表现。譬如,想象你在完全没有摩擦力其平如镜的冰上自由滑行,由于冰面均匀———二维空间平移不变,按动量(等于质量与速度之乘积)守恒定律,你会以等速一直向前滑行;如发现在某处滑行速度突然改变,那一定是该处冰面有异———二维空间不再平移不变。可见,等式一旦注入物理内容,就变得鲜活起来。
物理学的定律、定理及方程大多以等式表示,但别以为不等式不重要。以物理学中两个著名不等式为例,说明其重要性。
热力学第二定律又名“增熵定律”:封闭系统中的熵不会自动减少。以数学公式表示:熵随时间之变化率大于零,是一个不等式。按照热力学定义,熵是能量差额除以绝对温度(摄氏度加273度)。将冰块置入保温瓶内热水中,略等片刻,发现冰块溶化而水温降低。冰块溶化所吸收的能量等于水温降低所放出的能量,能量差额之绝对值相等;冰块的温度比水的温度低,所以冰块溶化所增加的熵比水温降低所减少的熵多,故为增熵过程,符合热力学第二定律。
“这有什么稀奇?”这确实不稀奇,但有谁见过保温瓶中的温水自动变回热水和冰块?为什么没有?因为此逆过程减熵,违反热力学第二定律。
有人不服气,说:“将温水置入冰箱不就结出冰块了吗?”对不起!他忘记了增熵定律的先决条件“封闭系统”,置入冰箱中的温水向外放出热量才会结出冰块,已不再符合封闭系统条件。
热力学第二定律非常重要,大到宇宙演化小到日常生活,其作用无处不在。信手拈来几个减熵过程的例子:瀑布从深潭跃起飞向悬崖之巅(李白:“遥看瀑布挂前川,飞流直下三千尺”之逆过程);落英跃上枝头变回鲜花(晏殊:“无可奈何花落去”之逆过程);坑内灰烬变回篆书竹简,冢中枯骨复活为敢言儒生(秦始皇焚书坑儒之逆过程)。这类事不可能!为什么?因为违反热力学第二定律那个增熵不等式。读者不妨试试,会想出更多有趣的例子来。一个增熵不等式,就演化出这么多故事,谁说数学枯燥无味?
物理学中另一个著名不等式是“测不准原理”,德国物理学家海森堡(WernerHeisenberg,1901-1976)证明:量子力学中的一对“共轭量”不可能同时测准。例如:能量与时间、动量与空间、角动量与方向均为共轭量,在原则上无法同时测准。测不准原理以不等式表示:一对共轭量偏差额之乘积大于“普朗克常量”,两者此长彼消。
别被测不准原理的“测”字所误导,以为只适用于测量。其实这是翻译失真,英文是:Uncertaintyprinciple,按理应译为“不确定性原理”,其含意是:一对共轭物理量的数值具有不确定性,这是量子世界固有之本性,即使不去测量也存在。例如:动量与空间尺度是一对共轭量,微观粒子所处的空间尺度越小,粒子的动量及其不确定性就越大;因为能量包含动能,相应的能量及其不确定性也随之增大。原子的尺度约为一百亿分之一米,与之相应的能量是原子外层价电子所具有的化学能。核子的尺度约为一千万亿分之一米,大约是原子尺度的十万分之一,与之相应的能量是核能。核能大于化学能约十万倍,这是因为产生核能的核子运动局限于极其微小空间内。
根据海森堡测不准原理,空间越小所蕴藏的能量就越大。聪明的读者会问:“在无穷小空间内是否蕴藏着无穷大能量?”这取决于两个因素:一是海森堡测不准原理是否普遍适用。多数物理学家倾向于肯定;二是许多物理学家相信,空间有一个最小尺度———“普朗克长度”约为一千亿亿亿亿分之一米,大约是核子尺度的一万亿亿分之一,相应的普朗克能量约为核能的一万亿亿倍!这虽然不是无穷大,现有技术水平离此极限还远着呢。石油价格飞涨导致能源危机,根本解决之道:钻进更小的空间中去寻找更大的能量,海森堡如是说。他那个不等式好厉害!
轻松一下。美国一些家长具有恒等式性格,对子女管教宽宏大量放任自流,造成有些子女逃课甚至辍学,这是一个极端。中国许多家长具有等式性格[1] [2] 下一页
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