阿基米德原理难题

阿基米德桥

   阿基米德桥是一种基于阿基米德浮力定律、被固定于水面以下的封闭通道，是一种跨越水域的新交通方式。阿基米德桥横截面可以为椭圆形或圆形，长度可达几千米，宽度可达几十米，可通行汽车，也可建成多通道，同时通行汽车和火车。

   由于技术上的一些难题没有解决，并且没有相应的设计、建设标准，目前世界上还没有一座真正的阿基米德桥。而一旦建成，阿基米德桥将成为一种新的交通方案供人们选择。更为重要的是，阿基米德桥适用于跨度较大、水位较深等不适宜建桥、隧道的地点。

基本科学问题+实际应用背景

   阿基米德桥学名为水中悬浮隧道。不过，与隧道不同，阿基米德桥借助于浮力浮于水中；与一般的桥也不同，对于浮力大于重力的阿基米德桥，它和水底的连接方式与桥相反——用缆索(也可以用其他方式)固定于水底和两岸，以防浮出水面，桥顶距水面保持20米以上的距离以便通行大吨位船只。因此，阿基米德桥的基础设计方案与桥梁、隧道有根本区别。

   重浮比是阿基米德桥的一个重要参数。据洪友士介绍，一般情况下，阿基米德桥的浮力明显大于桥的自重和交通载荷，其中自重又明显大于交通载荷。由于重力太大会导致不稳定，浮力太大又对固定桥体的缆索要求很高，目前研究认为重浮比在0.7~0.8之间效果最佳。

   “这个数字也有待进一步验证，现在力学所也在探索最佳重浮比的范围。”洪友士说：“我们有个基金重点项目在研究这些基础科学问题——水中悬浮隧道关键力学问题研究，其中包括长跨度结构在波流作用下的动态响应和在高平均载荷基础上叠加有周期载荷的结构和材料的完整性问题两个方面。缆索要承受浮力、交通载荷、波流的影响，及涡激振动产生的周期性载荷，这种情况下其结构的耐久性如何？寿命有多久？此外，缆索在湖水、海水中的寿命往往比在空气中短很多。因此，阿基米德桥问题的研究既有基本科学问题，也需同实际背景相联系，显然能够对这类科学问题提供可借鉴的结果。”

数学之神——阿基米德阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称"智慧之都"的名城里，阿基米德博阅群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研《几何原本》。后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有"力学之父"的美称。其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明。其中就有著名的"阿基米德原理"，他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部，但多数是几何著作，这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。

阿基米德在力学方面的成绩最为突出。
1、在总结了关于埃及人用杠杆来抬起重物的经验的基础上，阿基米德系统地研究了物体的重心和杠杆原理。提出了精确地确定物体重心的方法，指出在物体的中心处支起来，就能使物体保持平衡；同时，他在研究机械的过程中，发现并系统证明了阿基米德原理（即杠杆定律），为静力学奠定了基础。此外，阿基米德利用这一原理设计制造了许多机械。
2、他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律。

阿基米德定律（archimedeslaw）
阿基米德定理：
ājīmǐdédìnglǐ
物理学中关于力学的一条基本原理。浸在液体里的物体受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被该物体排开的液体的重力。
1、物理学中
（1）浸在静止流体中的物体受到流体作用的合力大小等于物体排开的流体的重量。这个合力称为浮力.这就是著名的“阿基米德定律[1]”(archimedes'law)。该定理是公元前200年以前古希腊学者阿基米德(archimedes,287-212bc)所发现的，又称阿基米德原理(archimedesprinciple)。浮力的大小可用下式计算：f浮=ρ液（气）gv排。
（2）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，用代数式表示为f?l1=w?l2(f1l1=f2l2或l1/l2=f2/f1)
2、数学中
阿基米德原理指对于任何自然数（不包括0）a、b，如果a<b，则必有自然数n，使n×a>b.
[例1]有一个合金块质量10kg，全部浸没在水中时，需用80n的力才能拉住它，求：此时合金块受到的浮力多大？
[分析]根据g=mg可得出金属块重力，浮力大小是重力与拉力的差。
[解答]g=mg=10×9.8n／kg=98n
f浮=g-f拉=98n-80n=18n
答：金属块受到的浮力是18n。
[例2]完全浸没在水中的乒乓球，放手后从运动到静止的过程中，其浮力大小变化情况[]
a．浮力不断变大，但小于重力。
b．浮力不变，但浮力大于重力。
c．浮力先不变，后变小，且始终大于重力直至静止时，浮力才等于重力。
d．浮力先大于重力，后小于重力。
[分析]乒乓球完全浸没在水中时，浮力大于重力，因浮力大小与物体在液内深度无关。因此乒乓球在水中运动时所受浮力不变，直到当球露出水面时，浮力开始变小，当浮力等于重力时，球静止在水面上，呈漂浮状态。
[解答]c
[例3]一个正方体铁块，在水下某深度时，上底面受到15n压力，下底面受到20n压力，则此时铁块受到浮力是________n；当铁块下沉到某位置时，上底受到压力增大至20n时，下底受到压力是_______n。
[分析]浮力产生的原因是物体上下底面受到液体的压力差。随着物体下沉，每个底面受到压力都要变大，但压力差不变，即
f浮=f下底-f上底=20n-15n=5n，
f＇下底=f＇上底+f浮=20n+5n=25n。
[解答]5，25。
[讨论]
浮力是包围物体的液体从各个方向对物体施加压力的总效果的反映。课本中以正方体为例，是为了便于理解和接受。如果从力的分解效果上讲，不规则形状的物体，同样满足f浮=f向上-f向下的关系。
[例4]质量相等的木块和冰块(ρ木<ρ冰)都漂在水面上，木块受到的浮力________冰块受到的浮力；体积相等的实心木块和冰块都漂在水面上，木块受到的浮力________冰块受到的浮力。（填大于、小于、等于）
[分析]根据物体的浮沉条件可知，物体漂浮时f浮=g，所以此题中要比较浮力的大小可通过比较木块和冰块受到的重力的大小来求得。
因为木块和冰块都漂浮在水面上，有f木浮=g木，f冰浮=g冰
(1)当木块和冰块质量相等时，由g=mg可知，g木=g冰，所以f木浮=f冰浮木块和冰块受浮力相等。
(2)当木块和冰块体积相等时，因为ρ木<ρ冰，根据g=ρgv可知，g木<g冰。
所以f木浮<f冰，此时冰块受到的浮力大。
[解答]此题正确答案为：等于、小于。
[例5]根据图中弹簧秤的读数，求出物体a在液体中所受的浮力。并回答在求浮力的过程中，主要用到了已学过的哪些知识？
[分析]这是用实验的方法测浮力。
图(1)中弹簧秤的读数就是物体在空气中的重g物，大小为1.3牛；图(2)中弹簧秤读数是物体在水中的视重g视，大小为0.5牛，物体a所受浮力大小，等于两次弹簧秤示数的差，f浮=g物-g视=1.3牛-0.5牛=0.8牛。
在回答上面问题时，用到了力的合成和力的平衡知识，分析a物体的受力情况，如图(3)所示，a受重力g，浮力f，弹簧秤的拉力f，由于a在水中处于平衡状态，所以有：f+f浮=g物，所以：f浮=g物-f，f的大小等于a的视重，所以：f浮=g物-g视。
[例6]一个正立方体的铁块，边长是1分米，浸在水中。求：(1)当它的下表面距液面0.5分米，并与水平面平行时，铁块下表面受到的压强和压力，铁块受到的浮力。(2)当铁块全部浸入水中，它的上表面距液面0.5分米时，铁块上下表面受到的压强差、压力差和浮力。(3)当铁块上表面距液面1分米时，求铁块上下表面受到的压强差、压力差和浮力。
[分析]此题可用压力差法求浮力。深度见图3中各示意图，
已知：h=1分米=0.1米，横截面积s=h2=0.01米2，h1=0.5分米=0.05米,h2=0.5分米=0.05米,h3=1分米=0.1米,ρ水=1.0×103千克/米3。
求：(1)p1、f1，f浮。
(2)p2-p＇2，f2-f＇2，f浮2
(3)p3-p＇3，f3-f＇3，f浮3。
[解答](1)如图(1)所示：
p1=ρ水gh1=1.0×10^3千克米3×9.8牛/千克×0.05米=0.49×103帕，
f1=p1s=0.49×103帕×0.01米2=4.9牛，
f浮1=f1=4.9牛。
(2)如图(2)所示，设下表面受到的向上压强、压力分别为p2、f2。上表面受到的向下压强、压力分别为p＇2、f＇2。
p2-p＇2=ρ水g(h+h2)-ρ水gh2
=ρ水gh+ρ水gh2-ρ水gh2
=ρ水gh=1.0×10^3千克／米^3×9.8／千克×0.1米
=0.98×103帕，
f2-f＇2=ρ水g(h+h2)s-ρ水gh2s
=ρ水ghs+ρ水gh2s-ρ水gh2s
=ρ水ghs
=1.0×10^3千克／米^3×9.8牛／千克×0.1米×0.01米2
=9.8牛
f浮2=f2-f＇2=9.8牛。
(3)如图(3)所示：
p3-p＇3=ρg水(h+h3)-ρ水gh
=ρ水gh+ρ水gh3-ρ水gh3
=ρ水gh
=1.0×10^3千克／米^3×9.8牛／千克×0.1米
=0.98×103帕，
f3-f＇3=(p3-p＇3)
=ρ水ghs
=1.0×10^3千克／米^3×9.8牛／千克×0.1米×0.01米
=9.8牛，
f浮3=f3-f＇3=9.8牛。
答：(1)铁块下表面受到的压强为0.49×103帕，压力和浮力均为4.9牛。(2)和(3)中铁块上下表面受到的压强差都为0.98×103帕，压力差都为9.8牛，浮力都为9.8牛。
[说明]从(2)(3)的解答中看出，物体全浸在液体中时，所受的压强差、压力差和浮力均与物体没入液体的深度无关
阿基米德原理（浮力原理）的发现
公元前245年，赫农王命令阿基米德鉴定金匠是否欺骗了他。赫农王给金匠一块金子让他做一顶纯金的皇冠。做好的皇冠尽管与先前的金子一样重，但国王还是怀疑金匠掺假了。他命令阿基米德鉴定皇冠是不是纯金的，但是不允许破坏皇冠。
这看起来是件不可能的事情。在公共浴室内，阿基米德注意到他的胳膊浮到水面。他的大脑中闪现出模糊不清的想法。他把胳膊完全放进水中，全身放松，这时胳膊又浮到水面。
他从浴盆中站起来，浴盆四周的水位下降；再坐下去时，浴盆中的水位又上升了。
他躺在浴盆中，水位则变得更高了，而他也感觉到自己变轻了。他站起来后，水位下降，他则感觉到自己重了。一定是水对身体产生向上的浮力才使得他感到自己轻了。
他把差不多同样大小的石块和木块同时放入浴盆，浸入到水中。石块下沉到水里，但是他感觉到石块变轻。他必须要向下按着木块才能把它浸到水里。这表明浮力与物体的排水量（物体体积）有关，而不是与物体的重量有关。物体在水中感觉有多重一定与它的密度（物体单位体积的质量）有关。
阿基米德在此找到了解决国王问题的方法，问题的关键在于密度。如果皇冠里面含有其他金属，它的密度会不相同，在重量相等的情况下，这个皇冠的体积是不同的。
把皇冠和同样重量的金子放进水里，结果发现皇冠排出的水量比金子的大，这表明皇冠是掺假的。
更为重要的是，阿基米德发现了浮力原理，即水对物体的浮力等于物体所排开水的重量。

阿基米德无可争议的是古代希腊文明所产生的最伟大的数学家及科学家之一，他在诸多科学领域所做出的突出贡献，为他赢得同时代人的高度尊敬，并用他的智慧颠覆人类历史。
力学方面：
阿基米德在力学方面的成绩最为突出。
1、在总结了关于埃及人用杠杆来抬起重物的经验的基础上，阿基米德系统地研究了物体的重心和杠杆原理。提出了精确地确定物体重心的方法，指出在物体的中心处支起来，就能使物体保持平衡；同时，他在研究机械的过程中，发现并系统证明了阿基米德原理（即杠杆定律），为静力学奠定了基础。此外，阿基米德利用这一原理设计制造了许多机械。
2、他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律。
几何学方面：
阿基米德的数学成就在于他既继承和发扬了古希腊研究抽象数学的科学方法，又使数学的研究和实际应用联系起来。阿基米德
1、阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，类似于现代微积分中所说的逐步近似求极限的方法。
2、他是科学的研究圆周率的第一人。他提出用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法求圆周率。他求出了圆周率大小范围为：223/71<π<22/7。
3、面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题。
4、提出了著名的阿基米德公理，用现代数学语言表述，阿基米德原理指对于任何自然数（不包括0）a、b，如果a<b，则必有自然数n，使n×a>b.
天文学方面：
1、他发明了用水利推动的星球仪，并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象；
2、他认为地球是圆球状的，并围绕着太阳旋转，这一观点比哥白尼的“日心地动说”要早一千八百年。限于当时的条件，他并没有就这个问题做深入系统的研究。
阿基米德螺旋永动机
重视实践：
阿基米德和雅典时期的科学家有着明显的不同，就是他既重视科学的严密性、准确性，要求对每一个问题都进行精确的、合乎逻辑的证明；又非常重视科学知识的实际应用。他非常重视试验，亲自动手制作各种仪器和机械。他一生设计、制造了许多机构和机器，除了杠杆系统外，值得一提的还有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。被称作“阿基米德螺旋”的扬水机至今仍在埃及等地使用。
[编辑本段]【著作】
阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。他的著作集中探讨了求积问题，主要是曲边图形的面积和曲面立方体的体积。其体例深受欧几里德《几何原本》的影响，先是设立若干定义和假设，再依次证明。
作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》等数学著作；作为力学家，他着有《论图形的平衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》等力学著作。
这些著作中《论球与圆柱》是他的得意杰作，包括许多重大的成就。他从几个定义和公理出发，推出关于球与圆柱面积体积等50多个命题
著作一览：
《数沙器》，是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。
《圆的度量》，利用圆的外切与内接９６边形，求得圆周率π为：223/71<π<22/7，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷竭法。
《论球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的。在这部著作中，他还提出了著名的"阿基米德公理"。
《抛物线求积法》，研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论："任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。"他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。
《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。
《平行图形的平衡或其重心》，是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。
《论浮体》，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。书中他研究了旋转抛物体在流体中的稳定性。
《论锥型体与球型体》，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体体积。
《阿基米德方法》，是一封给埃拉托斯特尼的信，它主要讲根据力学原理去发现解决问题的方法。他把这种方法看作是严格证明前的一种试探性工作,得到结果以后,还要用归谬法去证明它。
《群牛问题》，含有八个未知数，最后归结为一个二次不定方程。最初是在一封给埃拉托塞尼的信中提出，但真实性颇值得怀疑，“群牛问题”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已。