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阿基米德有没有证明海伦公式

来源:N       更新时间:2010-6-27
 
阿基米德有没有证明海伦公式

 

阿基米德是整个历史上最伟大的数学家之一,后人对阿基米德给以极高的评价,常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。他大约在公元前287年出身于西西里岛上的希腊城市叙拉古,早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习,并在那里结识许多同行好友,如科农〔cononofsamos〕、多西修斯〔dositheus〕、埃拉托塞尼等等。回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系,因此阿基米德也算是亚历山大里亚学派的成员,他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的。
公元前212年罗马军队攻入叙拉古,并闯入阿基米德的住宅,看见一位老人在地上埋头作几何图形,士兵将图踩坏。阿基米德怒斥士兵:『不要弄坏我的图!』士兵拔出短剑,刺死了这位旷世绝伦的大科学家,阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。他的生平没有详细记载,但关于他的许多故事却广为流传。据说他确立了力学的杠杆定理之后,曾发出豪言壮语:『给我一个立足点,我就可以移动这个地球!』,被誉为『力学之父』。
另一个着名的故事是:叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一顶纯金的皇冠,因怀疑里面掺有银子,便请阿基米德鉴定一下。当他进入浴盆洗澡时,水漫溢到盆外,于是悟得不同质料的物体,虽然重量相同,但因体积不同,排去的水也必不相等。根据这一道理,就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来,赤身奔回家中,口中大呼:『尤里卡!尤里卡』』〔希腊语enrhka,意思是『我找到了』〕他将这一流体静力学的基本原理,即物体在液体中的减轻的重量,等于排去液体的重量,总结在他的名着《论浮体》〔onfloatingbodies〕中,后来以『阿基米德原理』着称于世。
《论浮体》更是古代第一部流体静力学着作,是第一次将数学用于流体静力学,阿基米德亦因此被尊为流体静力学的创始人。阿基米德的着作是数学阐述的典范,写得完整、简练,显示出巨大的创造性、计算技能和证明的严谨性。他对数学的最大贡献,也许是某些积分学方法的早期萌芽。现存的阿基米德着作中,有三本是讲平面几何的,它们是:《圆的量度》〔measurementofacircle〕计算圆内接与外切96边形的周长,求得圆周率π:310/71<π<31/7、《抛物线的求积》〔quadratureoftheparabola〕,确定抛物线与任一弦所围弓形的面积。和《论螺线》〔onspirals〕利用一组内接和一组外接的扇形,确定『阿基米德螺线』〔利用极坐标方程r=aθ来表示〕第一圈与始线所包围的面积等于[π(2πa)]2/3。
现存的阿基米德着作中,有两部是讲立体几何的,即《论球和圆柱》〔onthesphereandcylinder〕及《论劈锥曲面体和球体》〔onconoidsandspheroids〕前者包括了许多重大的成就。他从几个定义和公理出发,推出并于球与圆柱面积体积等五十多个命题。用几何方法解决相当于三次方程x2(a-x)=b2c的问题。后者研究几种圆锥曲线的旋转体,以及这些立体被平面截取部份的体积。在引理中给出公式12+22+32+...+n2=[1/6]n(n+1)(2n+1)。《数沙术》〔thesandreckoner〕是现存论术算术的随笔,设计一种可以表示任何大数目的方法,纠正有的人认为沙子是不可数的,即使可数也无法用算术符号表示的错误看法。尚存关于应用数学的有《论平板的平衡》〔onplaneequilibrium〕和《论浮体》。他还设计了一个『群牛问题』,导致二次不定方程x2-4729494y2=1。此外,他还发现13种半正多面体,用边表示三角形面积的『海伦公式』和七边形的作图法。


现已公认海伦公式是阿基米德发现的,但这个名称已成为习惯用法。



在数学史方面,现代最惊人的发现之一是丹麦语言学家海伯格〔heiberg〕于1906年在土耳其君士坦丁堡发现的阿基米德的长期失传的着作,后以《阿基米德方法》〔method〕为名刊行于世。
《阿基米德方法》的中心思想是:要计算一个未知量,先将它分成许许多多的微小量,再用另一组微小量来和它比较,〔通常是建立一个杠杆,找一个合适的支点,使前后两组微小量取得平衡。〕而后者的总体该是较易计算的。于是通过比较,即可求出未知量来。这实质上就是积分法的基本思想。阿基米德的睿智,业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了。阿基米德运用这种富有启发性的方法,获得大量的辉煌成果,为后人开辟了一个广阔的领域。历史上有的数学家勇于开辟新的园地,而缺乏缜密的推理;有的数学家偏重于逻辑证明,而对新领域的开拓却徘徊不前。阿基米德则兼有二者之长,他常常通过实践直观地洞察到事物的本质,然后运用逻辑方法使经验上升为理论〔如浮力问题〕,再用理论去指导实际工作〔如发明机械〕。没有一位古代的科学家,像阿基米德那样将熟练的计算技巧和严格证明融为一体,将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合起来。

 

海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morriskline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积s可由以下公式求得:

s=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s:

s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

[编辑]证明
与海伦在他的着作"metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c,则馀弦定理为

\cos(c)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有

\sin(c)=\sqrt{1-\cos^2(c)}=\frac{\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}}{2ab}
因此三角形的面积s为

s=\frac{1}{2}ab\sin(c)
=\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}
=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
已知三角形的三条边长分别是a、b、c,则三角形的面积:

△=根号下s(s-a)(s-b)(s-c)其中s=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式〔heron'sformula〕。
海伦公式出现在海伦的《测地术》一书中。此公式人们一直归功于海伦。但范德瓦尔登支持贝尔的主张,认为此公式实际上是阿基米德〔前287-前212〕发现的。不过在海伦的《经纬仪》和《度量》两书中都有一个证明。
我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的,其意义就是:设三角形的三边分别为a,b,c,面积为δ,则
δ=根号下1/4{a2b2-{(a2+b2-c2)/2]2}
这个公式与海伦公式是等价的。

 

秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦(heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morriskline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积s可由以下公式求得:
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长:
p=(a+b+c)/2
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

证明(1):
与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c,则余弦定理为
cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

s=1/2*ab*sinc
=1/2*ab*√(1-cos^2c)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明(2):
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是,在方程px2=qk,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以
q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]
当p=1时,△2=q,
s△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}
因式分解得
1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8s(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:
s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。
s=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^.其中c>b>a.

根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

已知四边形abcd为圆的内接四边形,且ab=bc=4,cd=2,da=6,求四边形abcd的面积

这里用海伦公式的推广
s圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)
代入解得s=8√3

海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设△abc中,a、b、c分别为角a、b、c的对边,ha为a边上的高,r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径,p=(a+b+c),则
s△abc=aha=ab×sinc=rp
=2r2sinasinbsinc=
=
其中,s△abc=就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形
s=
=①
=②
=③
=④
=⑤
二、海伦公式的证明
证一勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式s△abc=aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。
证明:如图ha⊥bc,根据勾股定理,得:
x=y=
ha===
∴s△abc=aha=a×=
此时s△abc为变形④,故得证。
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d,
若bd=u,dc=v,ad=t.则
t2=
证明:由证一可知,u=v=
∴ha2=t2=-
∴s△abc=aha=a×
=
此时为s△abc的变形⑤,故得证。
证三:余弦定理
分析:由变形②s=可知,运用余弦定理c2=a2+b2-2abcosc对其进行证明。
证明:要证明s=
则要证s=
=
=ab×sinc
此时s=ab×sinc为三角形计算公式,故得证。
证四:恒等式
分析:考虑运用s△abc=rp,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式:若∠a+∠b+∠c=180○那么
tg·tg+tg·tg+tg·tg=1
证明:如图,tg=①
tg=②
tg=③
根据恒等式,得:
++=
①②③代入,得:
∴r2(x+y+z)=xyz④
如图可知:a+b-c=(x+z)+(x+y)-(z+y)=2x
∴x=同理:y=z=
代入④,得:r2·=
两边同乘以,得:
r2·=
两边开方,得:r·=
左边r·=r·p=s△abc右边为海伦公式变形①,故得证。
证五:半角定理
半角定理:tg=
tg=
tg=
证明:根据tg==∴r=×y①
同理r=×z②r=×x③
①×②×③,得:r3=×xyz
∵由证一,x==-c=p-c
y==-a=p-a
z==-b=p-b
∴r3=∴r=
∴s△abc=r·p=故得证。
三、海伦公式的推广
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形abcd中,设p=,则s四边形=
现根据猜想进行证明。
证明:如图,延长da,cb交于点e。
设ea=eeb=f
∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○
∴∠1=∠3∴△eab~△ecd
∴===
解得:e=①f=②
由于s四边形abcd=s△eab
将①,②跟b=代入公式变形④,得:
∴s四边形abcd=
所以,海伦公式的推广得证。
四、海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题:如图,四边形abcd内接于圆o中,sabcd=,ad=1,ab=1,cd=2.
求:四边形可能为等腰梯形。
解:设bc=x
由海伦公式的推广,得:
(4-x)(2+x)2=27
x4-12x2-16x+27=0
x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1)=0
(x-1)(x3+x2-11x-27)=0
x=1或x3+x2-11x-27=0
当x=1时,ad=bc=1
∴四边形可能为等腰梯形。

 

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