不完整缓和曲线是卵形曲线吗 卵型曲线是指两个同向圆曲线由一段缓和曲线连接起来构成的复曲线。
求卵型曲线的方法很多，如下
eggshapedcurves:
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seip1=(x1,y1)einpunktdeskreisesum(0,d)mitradiusa.
(1) (x1-d)^2+y1^2=a^2
seip2=(x2,y2)einpunktdeskreisesum(0,0)mitradiusb.
(2) x2^2+y2^2=b^2
seiendiepunktep1undp2aufeinergeradendurchdenursprung.
(3) y1/x1=y2/x2
gesuchtistdiegleichungfuerq=(x1,y2).
vorgehen:eliminationdervariablenx2undy1.
loese(1)nachy1^2aufund(2)nachx2^2auf.
(1') y1^2=a^2-(x1-d)^2
(2') x2^2=b^2-y2^2
quadriere(3).
(3') x2^2y1^2=x1^2y2^2
setze(1')und(2')in(3')ein.
(4) (b^2-y2^2)(a^2-(x1-d)^2)=x1^2y2^2
transformationx1-d->xundy2->y.
(5) (b^2-y^2)(a^2-x^2)=(x+d)^2y^2
expansion
(6) b^2x^2+a^2y^2+2dxy^2+d^2y^2=a^2b^2
(7) x^2/a^2+y^2/b^2(1+(2dx+d^2)/a^2)=1
dusiehst,fuerd=0gibtesdieellipsengleichungin(a,b)form.
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这是德语，大意是：
p1(x1,y1)是圆心为(0,d),半径a的圆,方程为
(x1-d)^2+y1^2=a^2 (1)
p2(x2,y2)是圆心为(0,0),半径b的圆,方程为
x2^2+y2^2=b^2(2)
连接p1和p2直线方程
y1/x1=y2/x2(3)
寻找q(x1,y2)关于变量(x1,y2)的等式
过程如下:消除变量x2和y1.
消除(1)中的y1^2和(2)的x2^2，得到
y1^2=a^2-(x1-d)^2(1')
x2^2=b^2-y2^2(2')
将(3)式平方，得到
x2^2y1^2=x1^2y2^2(3')
将(1')和(2')带入(3')得到
(4)(b^2-y2^2)(a^2-(x1-d)^2)=x1^2y2^2
变形
设x1-d为x及y2为y，得方程
(b^2-y^2)(a^2-x^2)=(x+d)^2y^2(5)
展开，得方程
b^2x^2+a^2y^2+2dxy^2+d^2y^2=a^2b^2(6)
x^2/a^2+y^2/b^2(1+(2dx+d^2)/a^2)=1(7)
可以知道,当d=0，它就是椭圆方程的形式。
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mechanicaleggcurveconstructionbyatwobarlinkage-aquartic
a
/ /
b /
/ /
/ /
-----------=p=-------------q----------
letqandpbepointsonahorizontalaxis.qisfixed.
thetwobarsofthelinkageareqaandpa.
letqa=r,ap=a,bp=b.(notethataneednotbegreaterthanr.)
nowacanbemovedaroundqonacirculartrack.thereby
pismovingforthandback.thetrackofbisaneggcurve.
bneednobebetweenaandp.letqbetheoriginofacoordinate
system.thentheresultingquaticcurveissymmetricinxandy.
soitactuallydescribestwoeggs.
suchadivisehasbeendescribedby[karlmocnik1998].
aninteractivewebpagewithsuchalinkageis
ahref=".museo.unimo.it/theatrum/macchine/"target="_blank".museo.unimo.it/theatrum/macchine//a sistemabiella-manovella.
forr=2,a=3,b=2wegetaniceeggcurve.
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由两个连杆机构构建的机械蛋曲线-四次方程
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a
/ /
b /
/ /
/ /
-----------=p=-------------q----------
让q和p是点在一个水平的轴。q是固定的。
联结两个连杆qa和pa。
让qa=r,ap=a,bp=b。(注意a可以不大于r。)
现在a在q附近的一条圆轨道移动。从而p可以前后移动。b轨道就是蛋曲线，另种说法为卵形曲线。
b可以不在a和p之间。让q是座标系的原点。然后得到的四次方曲线是关于x和y轴对称。
如此它实际上构成两个蛋形。
[karlmocnik1998]描述了这样方法。
链接网址如下
ahref=".museo.unimo.it/theatrum/macchine/"target="_blank".museo.unimo.it/theatrum/macchine//asistemabiellamanovella。
当r=2,a=3,b=2就可以得到好的蛋曲线。
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polynomialsmakingchainsofeggs:
letf(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)beapolynomial
withdistinctrealrootsx1,x2,...xn.
example:f(x)forn=4lookslikethis
x
x x x x
------x1----x2--------x3------x4-----
x x x x
x xx x
theequationy^2=f(x)willhavetwoeggsin[x1,x2]and[x3,x4].
with2nrootswecancreateachainofneggsinthisway.
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多项式做链子蛋:
让f(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)是多项式，并有相异的实根x1,x2...xn。
例子:
当n=4，f(x)看起来象这样
x
x x x x
------x1----x2--------x3------x4-----
x x x x
x xx x
等式y^2= f(x)将有二个蛋，参数分别为[x1,x2]和[x3,x4]。
2n个根我们能创造n蛋链。
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newton'scubic:ellipticcurve
y^2=x(x+a)(x+b) threerealandunequalroots0,-a,-b
ahref="home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubicn.html"target="_blank"home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubicn.html/a
, , | '
' ' , |'
' ' |'
--b--------------a------+------------------
, , |,
, , ' |,
' ' | ,
anotherparametrizationwhichgivesbettercontroloftheshape
a^2by^2=c^2(x+a)(x-a)(x-b) with 0<a<b
, ,a ' a=(0,c)
' ' , '
' ' '
--a-----0-----+a-----b------------------
, , ,
, , ' ,
' ' ,
themaximalvalueoccuresatx=(b-sqrt(b^2+3a^2))/3.
theradiusofcurvatureofaparabolay^2=2pxatx=0isp.
letf(x)=(x+a)(x-a)(x-b)thenf'(a)=2a(a-b)and
f'(-a)=2a(a+b).thereforetheradiusofcurvatureofthe
eggatx=aisc^2(1/a-1/b)andatx=-aitisc^2(1/a+1/b).
doubleeggquartic:
y^2=-c(x+a)(x-a)(x+b)(x-b)=-c(x^2-a^2)(x^2-b^2)
specialcaseofthepolynomialeggchain.
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newton's立方体:椭圆曲线
y^2=x(x+a)(x+b) 三个不等的实根0,-a,-b
ahref="home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubicn.html"target="_blank"home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubicn.html/a
, , | '
' ' , |'
' ' |'
--b--------------a------+------------------
, , |,
, , ' |,
' ' | ,
引入其它参数给形状的更好的约束控制
a^2by^2=c^2(x+a)(x-a)(x-b)，0<a<b
, ,a ' a=(0,c)
' ' , '
' ' '
--a-----0-----+a-----b------------------
, , ,
, , ' ,
' ' ,
最大值在x=(b-sqrt(b^2+3a^2))/3处。
抛物线y^2=2px的曲率半径，在x=0时是p。
令f(x)=(x+a)(x-a)(x-b)
则f'(a)=2a(a-b)和f'(-a)=2a(a+b)。
所以蛋形曲率半径在x=a时是c^2(1/a-1/b)并且在x=-a时它是c^2(1/a+1/b)。
双蛋四次式:
y^2=-c(x+a)(x-a)(x+b)(x-b)=-c(x^2-a^2)(x^2-b^2)
多项蛋链的特殊情况。
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apolloniancubic:
(x-a)(x^2+y^2)+bx+cy=0
ahref="home.planet.nl/~wasse170/cubic/cubica.html"target="_blank"[1] [2] 下一页
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