记为
（12...n）
i1i2...in
其中i1,i2,...in也就是自然数1,2,...n，但一般来说，是某一个别的序列。由n个元素的全部置换构成的集合是群，称为对称群。在这个群中，元素有n！个。
设有域P的根式扩充域：P=L0L1...Li-1Li...Ls=K,(35)
其中符号表示“包含于”的意思，在这里就是指每一个域是后面一个域的子域。每一个域前一个域的根式扩充域。
我们取每一个子域的加罗华群：Hi=G（K，Li）。
这样，下面这个子群序列将对应于子域（35）的序列：e=Hs...HiHi-1...H1H0=G（K,P）（36）
在这里，每一个群都是后一个群的子群。而且，这个子群还是后一个群的正规子群，而每一个商群Hi-1/Hi是循环群。
序列（36）存在，则群G（K，P）是可解的。如果只有S=1时，序列（36）才可能存在，则群G（K，P）称为是单一的或不可解的。
于是，如果代数方程用根式可解，那么与之对应的加罗华群是可解的。反之，如果加罗华群是可解的，那么与这个群有关的代数方程就可以用根式解出。
为了证明用根式解一般的代数方程的不可能性，只要确认与方程对应的加罗华群不可解就够了。同时，因为方程是一般方程，即它的系数是任意的，所以可以取由n个元素构成的相适应的置换群来代替加罗华群，其中n是方程的次数。
当n≥5，置换群是不可解的，就是说，一般的5次以上的代数方程用根式是不可解的。
当n≤4，每一个置换群都是可解的，这就是说，不高于4次的代数方程用根式是可解的。众所周知，由于长期的寻找的结果，它们的解已经找到了。求出这些解还有其他的方法，就是用拉格朗日（1736——1813）的预解法，但在这里我们不写它。
这个定理是由阿贝尔证明出来的，当时他只有22岁。但是，他论证的要点同我们刚才介绍的，以及以后一段时间对已经创立的加罗华理论的所有补充都是不同的。阿贝尔的思想是要证明，对于高于四次的方程来说，如果用由方程的系数利用加、减、乘、除和开方运算构成的表达式代替方程的未知数，使方程成为恒等式是不可能的。
阿贝尔的论断与加罗华理论所固有的普遍性没有区别。加罗华理论的普遍性，不仅能够重复阿贝尔的成果，而且前进的比阿贝尔远的多。在一定意义上说，阿贝尔定理是加罗华理论研究中一个附带的成果。加罗华理论不仅使我们有可能证明出用根式解高于四次的代数方程的不可解性，而且能指出一些特殊方程的可解性。
是否可以说，加罗华理论的创立还不是数学的最后结论。这个理论引出了许多其他问题，现代数学家正在研究解决这些问题。（来源：业余数学天地）
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