一个充分必要条件问题的讨论

作者：学夫子
　　
　　我们知道充分必要条件是和集合的内容结合在一起的。我在《从集合的角度看逻辑》一文中已经介绍过，如果命题P和Q是分别以集合A和集合B的形式出现的，那么P是Q的充分条件等价于A是B的子集。当这个结论应用在下面这道题上时便有了不同的看法：
　　
　　例.命题P：x2+ax+1≤0，Q：x2-3x+2≤0，若P为Q的充分不必要条件，求a的范围。
　　
　　我们若从集合的角度，设命题P所对应的不等式的解集为A，Q所对应的解集为B，那么P是Q的充分不必要条件，实际上就等价于A是B的真子集。那么这一来，由于空集是任何非空集合的真子集，那么A就可以是空集。
　　
　　但若A为空集，就意味着命题P为假，根据充分条件的逻辑意义，命题Q也为假，这当然是错的。那么A到底能不能为空集？
　　
　　这是我偶然之间翻《数学通讯》的盗版电子版时看到的一个讨论，觉得蛮有意思的就推荐给大家。要看这个问题，我们得要明白充分必要条件的定义：我们先就以充分条件为例吧！
　　
　　当命题“若P则Q”为真时，P称为Q的充分条件。
　　
　　核心的一句话就是命题R：“若P则Q”为真，命题R的真，不一定非要以P的真为前提。实际上这就是逻辑学里面著名的“虚真论断”：r：“若p则q”，如果假设p本身就是假，则论断r一定为真。
　　
　　也就是说，对于“若P则Q”形式的命题，如果条件P本身就是假的，那么不管Q的真假如何，“若P则Q”就一定是真命题。我们也许有点难以接受这个现实，但我们若从逆否命题与原命题等价的观点来看那便非常自然：“若P则Q”的逆否命题——“若非Q则非P”——很明显是确定无疑的真命题，因为P为假命题，那么非P就一定是真命题，所以不管Q的真假如何，结论永远都是对的。所以对于我们一开始提到的这一个问题来讲，A是可以为空集的。
　　
　　产生这种误解的根本原因，是我们将充分条件的定义“若P则Q”理解成了：
　　
　　若P为真，则Q为真；若P为假，则Q为假。
　　
　　我们不能这样来理解充分条件的概念，这是错误的。“若P则Q”这句话是作为一个整体出现的，我们顶多能说“若P为真，则Q一定为真”，但我们不能说“若P为假，则Q一定为假”。（来源：学夫子数学博客）