同余类四则运算律。验证如下：
[x]3=[2a+3b+2c]3=2[a]3+3[b]3+2[c]3=2[1]3=[2]3,
[x]5=[2a+3b+2c]5=2[a]5+3[b]5+2[c]5=3[1]5=[3]5,
[x]7=[2a+3b+2c]7=2[a]7+3[b]7+2[c]7=2[1]7=[2]7,
那么，问题就归结为求解a,b,c三个数.先看a.它满足的条件是，同时被5,7整除，被3除余1。由于5,7互素，所以a必须被5×7=35整除。很容易找到35的倍数中被3除余1的数：a=70.这个求a的过程就是秦九韶的所谓“三人同行七十稀”。
同理可得b=21,即秦九韶所谓“五树梅花廿一支”，以及c=15,“七子团圆正半月”。所以我们得到了“物不知数”问题的一个解：
2a+3b+2c=2×70+3×21+2×15=233.
之前已经提到，加上或者减去3,5,7的公倍数105，仍然还是一个解。所以我们得到绝对值最小的解：233-105×2=23.此即“除百零五便得知”。
可以看到，解决这个问题的关键，其一在于“拆分”，其二在于求最简单形式的同余方程组的解。而此问题的解的存在性和唯一性，都是由这最简单形式的同余方程组决定的。我们可以仔细地来审视一下求得a的过程。其实这个过程中更关键的未知数是一个乘数w,满足[5×7×w]3=[1]3.一旦求得这个w,则a=5×7×w.前面已经提到过，这个方程表明，w应该是5×7的同余类倒数（以3为模数）。而这个倒数存在当且仅当5×7与3互素。当然，在这个例子里，5×7的确与3互素。普遍而言，这个条件则是此类问题存在唯一解的充分必要条件。
总而言之，秦九韶实际上证明了：“物不知数”问题存在唯一解当且仅当该问题所涉及的所有模数两两互素。
秦九韶对这个问题的解答被称为“中国剩余定理”，它是很罕有的被世界数学界公认由中国人最早给出完整证明的数学定理。它在现代数学中有极其重要的推广，其普遍形式是现代数学的基石之一。
回到正题。这一节介绍的是有限域。首先回忆一下，“域”就是一些互相能做加减乘除四则运算的东西放在一起的一个集合。我们在前面的篇章里介绍过有理数域、代数数域、实数域、p-adic数域。它们都包含无限个元素。而在这一篇里，我们已经看到了有限域的例子：比如模5同余类组成的集合，{[0],[1],[2],[3],[4]},记为F5。
这些元素之间可以做加、减、乘运算，其过程无非是先把它们当作整数进行运算，再将运算结果模5。除法就没有这么直接，因为普通整数除法的结果不一定是整数，模5这种操作可能没有意义。不过我们知道除以一个数等价于乘上这个数的倒数，而当模数为素数的时候，非零同余类的倒数总是存在的。所以在F5里面我们也可以自由地做除法。
显然，对每一个素数p,我们就有一个有限域Fp.其它的有限域都是什么样子呢？数学论证表明，任何一个有限域，它的元素个数必定是某个素数的幂，pn,而它的元素都满足多项式方程
xpn-x=0.
实际上，正如有理数域通过添加多项式方程的解得到更大的数域，Fp添加以上方程的所有解就得到元素个数为pn的有限域。不过，对于不熟悉抽象数学语言的读者，有限域跟其它我们提到的数域有一个重要差别：有限域的元素一般不存在直观的表示。而其它数域的元素一般会有比较直观的表示方法，比如，代数数一般可以表示为复数a+bi,实数可以表示为小数，p-adic数可以表示为大数，等等。所以，其实我们应该承认：余数非数。
由于有限域的元素个数有限，以它们为系数的“向量空间”就成为有限的对象，同时又具有普通向量空间所具有的丰富结构，很多科学工程领域应用有限域上的向量空间帮助建立数学模型。比如，有限域在密码学和编码学中发挥着极其重要的作用。
纯数学领域，对有限域上代数方程组的研究引导数学家韦伊在1949年提出一系列猜想，试图将数论问题与几何（拓扑）概念作类比。为了解决韦伊猜想，格罗登迪克发展出了一整套新概念、新方法、新体系，形成了“现代代数几何”。发展至今，这一“发源于”有限域的新体上一页 [1] [2] [3] 下一页
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