先说复数。我们知道复数可以用矢量表示，复数x+yi对应到平面矢量(x,y).复数的加法和矢量的加法一致（显然。因为都是把分量相加。）复数的乘法对应到矢量的旋转和伸缩。在物理学中，更为广泛使用的是三维矢量，(x,y,z).寻找一种“数”来与三维矢量1-1对应，是很自然的想法。对19世纪初的爱尔兰人威廉.哈密尔顿来说，如果能找到这种数，他就可以更方便地表述牛顿力学和电磁学了。
哈密尔顿试图定义三维矢量之间的四则运算。加减法毫无问题，矢量是自然可以加减的。至于乘法，当时人们也知道三维矢量的“内积”和“外积”，或者称为“标量积”和“矢量积”，又或者称为“点乘”和“叉乘”。但是这两种运算都不能满足哈密尔顿的需要：“点乘”的结果并不是矢量，所以这种运算并非是对{三维矢量}这个集合封闭的运算；叉乘的结果虽然仍然是矢量，但是每个矢量跟自己叉乘的结果都是(0,0,0)，使得除法无从定义。（假定除法可以定义，比如，a/b=c,那么a=c×b.但是因为b×b=(0,0,0),从而a=(c+b)×b,即a/b=c+b.可见这样的定义会引起矛盾.）
如何定义三维矢量之间自洽的乘除法运算公式困扰了哈密尔顿很多年。终于，1843年某一天他沿着都柏林皇家运河步行，一组公式闪现在他头脑中，他兴奋之余担心忘记，就在经过布鲁翰桥的时候将这组公式刻在桥上：
i2=j2=k2=ijk=-1
其中i,j,k分别是沿着x,y,z轴方向的单位矢量。
这组公式定义的运算其实不完全满足哈密尔顿原先的想法：
其一：由于-1的出现，运算对{三维矢量}这个集合不封闭。事实上，在复数的情形，x+yi对应到平面矢量(x,y)，即，实数1对应到矢量(1,0),虚数i对应到矢量(0,1).也就是说，实数填充了其中一维空间，而纯虚数填充了另一维空间。与此类似，哈密尔顿定义的运算实际上是{四维矢量}这个集合上的运算，1,i,j,k分别张成这四个维度。为了跟复数记号类比，以下叙述将不采用黑体的矢量记号，代之以i,j,k.现在所有四维矢量之间定义了加减乘运算（除法容后再议），每个四维矢量(x,y,z,w)将写为x+yi+zj+wk,称为一个“四元数”。显然，它包含了复数（只要令z=0,w=0,就得到复数）。
其二：乘法运算不再满足交换律。由ijk=-1,等式两边都在右边乘上k,有ijk2=-k,再应用k2=-1,得到-ij=-k,从而ij=k.同理可得jk=i,ki=j.最后一式等式两边都在右边乘上i,有ki2=ji,即-k=ji.所以我们看到ji=-ij.不遵从交换律。事实上，后来人们证明，不可能比哈密尔顿做得更好：如果要求扩充的数系既包含实数在内，又可以做加减乘除，并且满足乘法结合律和交换律，那么唯一的可能就是复数。如果要进一步扩充，就只能牺牲交换律。
无论如何，“四元数”诞生了。它是如此美妙以至于哈密尔顿将此后的大部分时间都投入到对四元数的研究中。所有这些研究汇成将近800页的著作“四元数基础”。
我们现在就来更细致地看看四元数运算。类比复数绝对值运算公式
|x+yi|2=(x+yi)(x-yi)=x2+y2,
有四元数绝对值运算
|x+yi+zj+wk|2=(x+yi+zj+wk)(x-yi-zj-wk)=x2+y2+z2+w2
除法因而也类似
(a+bi+cj+dk)/(x+yi+zj+wk)=(a+bi+cj+dk)(x-yi-zj-wk)/(x2+y2+z2+w2)
四元数集中有个子集对乘法和除法封闭。这个子集就是绝对值等于1的那些四元数。它们满足方程
x2+y2+z2+w2=1
从而组成四维空间中的单位球面（三维球面）。
一个集合如果既有微分流形的结构，其元素又可以做光滑的乘法运算并且满足一定的条件（构成一个“群”），这个集合就称为一个“李群”。绝对值为1的所有四元数就构成一个李群。
这种结构在复数集中有类比：绝对值为1的所有复数构成一个李群，它在几何上 [1] [2] [3] 下一页
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