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利用证明勾股定理的“总统法”证明三角加法公式
来源：不详       更新时间：2012-2-5 17:47:18
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美国第20任总统加菲尔德于1876年发表了证明勾股定理的一种方法，后人也习惯称之为“总统法”，至今仍然是一段佳话。总统法证明勾股定理是基于下面一个图：
     
      利用上面那个等腰直角三角形的面积公式即可证明。具体方法我就不多说，百度里面一搜一大把。如果我们对此图稍微变形，便可以利用他证明其他有用的公式，比如三角函数里的加法公式。
      一：证明sin(A+B)
     
      当然这个方法是在已知勾股定理成立的前提下。两个斜边为1的直角三角形构成如图所示的梯形。我们考虑该梯形的面积：
      S梯形=1/2(sinA+sinB)(cosA+cosB)=1/2sinAcosA+1/2sinBcosB+1/2×1×1×sin(A+B)
      第一个公式是利用梯形面积=1/2(上底+下底)高，第二个公式是利用三个三角形面积之和。将上述式子化简即可得：
      sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
      二：证明cos(A+B)
     
      还是在这个图里面，先计算该梯形的腰长的平方d2=(cosA+cosB)2+(sinA-sinB)2,在图中的等腰三角形里面利用余弦定理
     
      将该式化简既得：
      cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
      其实稍微变化一下图，我们还可以利用他证明余弦定理，但是前提是你必须用其他方法先推倒出加法公式，不然就会陷入循环论证的陷阱。关于这一点，学夫子在另外一篇文章<勾股定理与两角和的正弦公式>一文里提到过他们之间的关系。
      文章来源：学夫子数学博客
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