高一数学重要知识点总结之二次函数

I.定义与定义表达式
　　
　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　
　　y=ax^2+bx+c
　　
　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
　　
　　则称y为x的二次函数。
　　
　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
　　
　　II.二次函数的三种表达式
　　
　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
　　
　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]
　　
　　交点式：y=a(x-x？)(x-x？)[仅限于与x轴有交点A（x？，0）和B（x？，0）的抛物线]
　　
　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
　　
　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax？，x？=(-b±√b^2-4ac)/2a
　　
　　III.二次函数的图像
　　
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
　　
　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
　　
　　IV.抛物线的性质
　　
　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
　　
　　x=-b/2a。
　　
　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
　　
　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　
　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为
　　
　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
　　
　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
　　
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
　　
　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
　　
　　|a|越大，则抛物线的开口越小。
　　
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　
　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
　　
　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
　　
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
　　
　　抛物线与y轴交于（0，c）
　　
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　
　　Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
　　
　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
　　
　　Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
　　
　　V.二次函数与一元二次方程
　　
　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
　　
　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
　　
　　即ax^2+bx+c=0
　　
　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
　　
　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
　　
　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
　　
　　解析式
　　
　　顶点坐标
　　
　　对称轴
　　
　　y=ax^2
　　

[1] [2] [3] 下一页