韦达定理中那隐隐约约的复数思想 |
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| 来源：不详 更新时间：2013-3-12 16:02:01 |
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作者：学夫子
如果看官还不知韦达定理为何物，建议百度一下。今天要说的是在我们平时的做题过程中，有时候会隐隐约约透露出一些复数思想，本来是一个麻烦，今天就有一学生来问我这个问题，我因此感到，应该可以顺便给他透露出一些复数思想。
起源于一道二次方程题目：
若二次方程x2+(m-1)x+2m+3的两个根都小于0，求m的取值范围。
这个题目我就直接说了，题目中的条件等价于：
△=(m-1)2-4(2m+3)≥0
x1x2=2m+3>0
x1+x2=1-m<0
然后解出上面的不等式组就可以得到m的取值范围，事情似乎到这里就已经算是完成，但是却有学生提出下面的疑问：
既然已经用到定理，为何还要用判别式？教材上说的韦达定理，其前提不是方程有根吗？
这个问题我想是每位老师都能懂的。因为我们知道，韦达定理的成立并不一定要求方程有实数根，对于在复数范围内，任何一个二次方程甚至是高次方程都遵循韦达定理，详情可以参考：《韦达定理的推广》。可是又如何向学生说呢？
我只能说，由韦达定理知道，x1x2=c/a，如果仅仅是用韦达定理的话，实际上我们最终用的就是c/a。x1和x2可以没有，但是c/a却是任何一个方程都存在的，所以由韦达定理并不一定可以得知其方程有根。顺而变之，就给学生传播这样的一种思想，韦达定理的成立，可以不依靠方程有实数根。但是方程有根一定有韦达定理成立。具体的，等你们学到复数概念的时候就会明白。
如果是高三的话，因为他们接触过一点复数的概念，他们或许能理解，关键就是此学生是初三升高一的。我想，复数算得上是人类思维的一次重大突破，通过这样的例子给他们传递一些这方面的思想，未尝不是好事。（来源：学夫子数学博客）
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