一道递归数列的探寻 |
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| 来源：不详 更新时间：2013-4-9 11:52:22 |
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作者：岳西县汤池中学 杨续亮
一、问题的提出
对于自然数k，有G(K)表示k的最大奇因数，例如G(1)=1，G(2)=2，G(3)=3，G(4)=1，设F(n)=G(1)+G(2)+…+G(2n)，n为正整数。求F(n)的递归式（用关于n的式子表达）
二、问题的解答
解析F(n)=G(1)+G(2)+…+G(2n)
=G(1)+G(2)+…+G(2n-1)+G(2n-1+1)+G(2n-1+2)+…+G(2n)
=F(n-1)+G(2n-1+1)+G(2n-1+2)+…+G(2n)
=F(n-1)+{G(2n-1+1)+G(2n-1+3)+…+G(2n-1)}+{G(2n-1+2)+G(2n-1+4)+…+G(2n)}
=F(n-1)+(2n-1+1)+(2n-1+3)+…+(2n-1)+{G(2n-2+1)+G(2n-2+2)+…+G(2n-1)}+{G(1)+G(2)+…+G(2n-2)}-{G(1)+G(2)+…+G(2n-2)}
=F(n-1)+3*4n+F(n-1)-F(n-2)
故F(n)=2F(n-1)-F(n-2)+3*4n
F(n)-F(n-1)-4n-1=F(n-1)-F(n-2)-4n-2=F(2)-F(1)-41-1=0
所以F(n)-F(n-1)-4n-1=0
即F(n)=F(n-1)+4n-1
三、解题突破口的探寻
利用F(n)=G(1)+G(2)+…+G(2n)构造{G(2n-2+1)+G(2n-2+2)+…+G(2n-1)}+{G(1)+G(2)+…+G(2n-2)}-{G(1)+G(2)+…+G(2n-2)}
来源：数学老师的工作室blog
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