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关于e^π和π^e的大小

来源：不详更新时间：2012-2-5 17:47:29

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这是昨天在彭翕成老师博客所看见的一个问题，就是探讨e^π和π^e的大小。按照函数的单调性，不等式关系啥的都没办法解决。当然，最后彭老师用了一个很巧妙的办法解决了这个问题，就用到了e的定义：

      具体步骤各位可以去查看彭老师的文章。今天学夫子想说的，就是对彭老师所提供的一篇论文的一点说明，因为学夫子本人也是更钟情于这种方法的。
      这个问题其实探讨a^b和b^a的大小问题，我们这里a和b都大于1的时候，在我们对a^b和b^a做差或是比都无法解决问题后，我们想到了对数，通过判断ln(a^b)和ln(b^a)的大小，从而得到a^b和b^a的大小，因为我们知道，这两者的大小是一致的。我们可以通过做比值来判断这两个数之间的大小：

      这样看来，其比值就可以通过判定函数y=lnx/x的单调性来决定还好，导数帮了我们大忙，原则上说，这还是中学知识的范围，因为如今中学已经接触到对数函数的导数。
      我们令f(x)=lnx/x，则：

可能是因为印刷或者扫描的错误，原论文在这里有点错误，这才是正确的导数，从而f(x)的单调性就很容易判断出来：

      有了这个结论，我们对ln(a^b)和ln(b^a)的大小比较便有了一部分答案：
      当a>b≥e时，a^b<b^a
      当e≥a>b时，a^b>b^a。
      现在我们便有了e^π和π^e的大小比较，因为刚好他们都大于等于e，所以有e^π>π^e。
      之所以说只是解决了一部分，而且只是一小部分，是因为倘若当a和b中一个大于e，另一个小于e，这种方法就失效，如今还没有好一点的通用解决办法。甚是遗憾。
      相对于不等关系，也许他们的相等关系更让人有兴趣，因为也许这是我们很早以前就在思考的问题，什么时候a^b和b^a相等？这个问题的解决不容易，需要用到高等数学知识，我在这里就仅仅介绍结论：

[1] [2] 下一页

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