Riemann 猜想漫谈(三)

随手写下、却让数学界花费几十甚至上百年的时间才能证明的命题在Riemann那篇论文中还有好几处。这是Riemann那篇论文的一个极为突出的特点：它有一种高屋建瓴的宏伟视野，远远超越了同时代的其它数学文献。它那高度浓缩的文句背后包含着的极为丰富的数学结果，让后世的数学家们陷入漫长的深思之中。直到今天，我们的数学在整体上虽已远非Riemann时代可比，但数学家们仍未能完全理解Riemann在那篇短短八页的简短论文中省略掉的证明及显露出的智慧。J(x)的表达式是我们碰到的Riemann那篇论文中的结果超前于时代的第一个例子[注二]，在下一节中我们将遇到其它例子。
　　
　　在一代代的后世数学家们为那些被Riemann省略掉的证明而失眠的时候，他们中的一些也许会联想到PierredeFermat(1601-1665)。这位法国数学家在古希腊数学家Diophantus(200?-284?)的《算术》(Arithmetica)一书的页边上写下著名的Fermat猜想(Fermat'sconjecture)的时候，随手加了一句话：“我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来”[注三]。令人尴尬的是，Fermat猜想自1670年被他儿子公诸于世(那时他本人已经去世)以来，竟然难倒了整个数学界长达三百二十四年之久，直到1994年才被英国数学家AndrewWiles所证明。但Wiles的证明篇幅浩繁，莫说在《算术》一书的页边上写不下来，即便把整套《大英百科全书》(EncyclopædiaBritannica)的页边加起来，也未必写得下来。现在人们普遍认为，Fermat并没有找到Fermat猜想的证明，他自以为找到的那个“真正出色的证明”只是三百多年间无数个错误证明中的一个。那么Riemann的情形会不会也象Fermat一样呢？他那些省略掉的证明会不会也象Fermat的那个“真正出色的证明”一样呢？从目前人们对Riemann的研究来看，答案基本上是否定的。Riemann作为堪与Gauss齐名的有史以来最伟大的数学家之一，他的水平远非以律师为主业的“票友”型数学家Fermat可比。而且人们在对Riemann的部分手稿进行研究时发现，Riemann对自己论文中的许多语焉不详的命题是做过扎实的演算和证明的，只不过他和Gauss一样追求完美，发表的东西远远少于自己研究过的。更令人钦佩的是，Riemann手稿中一些演算和证明哪怕是时隔了几十年之后才被整理出来，却往往还是大大超越当时数学界的水平(其中一个典型的例子可参阅第十节)。因此我们有较强的理由相信，Riemann在论文中以陈述而不是猜测的语气所表述的内容——无论有没有给出证明——都是有着深入的演算和证明背景的。
　　
　　好了，现在回到J(x)的表达式来，这个表达式给出了J(x)与Riemannζ函数之间的确切关联。换句话说，只要知道了ζ(s)，通过这个表达式原则上就可以计算出J(x)。知道了J(x)，下一步显然就是计算π(x)。这并不困难，因为上面提到的J(x)与π(x)之间的关系式可以通过所谓的Möbius反演(MöbiusInversion)来反解出π(x)与J(x)的关系式，其结果为：
　　
　　π(x)=Σn[μ(n)/n]J(x1/n)
　　
　　这里的μ(n)被称为Möbius函数，它的取值如下：
　　
　　μ(1)=1
　　
　　μ(n)=0(如果n可以被任一素数的平方整除)
　　
　　μ(n)=-1(如果n是奇数个不同素数的乘积)
　　
　　μ(n)=1(如果n是偶数个不同素数的乘积)
　　
　　因此知道了J(x)就可以计算出π(x)，即素数的分布函数。把这些步骤连接在一起，我们看到，从ζ(x)到J(x)，再从J(x)到π(x)，素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了Riemannζ函数之中。这就是Riemann研究素数分布的基本思路。在下一节中，我们将进一步深入Riemann的论文，让那些千呼万唤犹未露面的Riemannζ函数的非平凡零点显露在我们的镁光灯下。
　　
　　注释
　　
　　1.当然，所谓“难啃”是一个相对的概念，是相对于论文发表时数学界的水平而言的。
　　
　　2.需要提醒读者注意的是，为了先把Riemann论文的思路表述清楚，我们对叙述的顺序作了调整，这里所说的“第一个例子”是相对于我们调整后的叙述

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