Riemann 猜想漫谈(四)

竟有什么样的影响呢？在这个问题上数学家们已经取得了一系列结果。素数定理的证明本身就是其中一个，我们将在后文中提及。在素数定理被证明之后，1901年，瑞典数学家vonKoch(1870-1924)进一步证明了(请注意，这正是我们前面提到过的以Riemann猜想的成立为前提的数学命题的一个例子)，假如Riemann猜想成立，那么素数定理与素数实际分布之间的绝对偏差为O(x1/2lnx)[注七]。另一方面，Li(xρ)的模随x的增加以xRe(ρ)/lnx的方式增加，因此任何一对非平凡零点ρ与1-ρ所给出的渐近贡献Li(xρ)+Li(x1-ρ)起码是Li(x1/2)~x1/2/lnx。这一结果暗示素数定理与素数实际分布之间的偏差不可能小于Li(x1/2)。事实上，英国数学家JohnLittlewood(1885-1977)曾经证明，素数定理与素数实际分布之间的偏差起码有Li(x1/2)lnlnlnx。这与Koch的结果已经非常接近(其主项都是x1/2)。因此Riemann猜想的成立意味着素数的分布相对有序；而反过来，假如Riemann猜想不成立，假如Riemannζ函数的某一对非平凡零点ρ与1-ρ偏离了临界线(即Re(ρ)>1/2或Re(1-ρ)>1/2)，那么它们所对应的渐近贡献Li(xρ)+Li(x1-ρ)的主项就会大于x1/2，从而素数定理与素数实际分布之间的偏差就会变大[注八]。
　　
　　因此，对Riemann猜想的研究使数学家们看到了貌似随机的素数分布背后奇异的规律和秩序。这种规律和秩序就体现在Riemannζ函数非平凡零点的分布之中，它让数学家们目驰神移。
　　
　　注释
　　
　　1.Riemann对ξ函数的定义与我们所用的略有差异，他的ξ函数用我们的ξ函数可以表示为ξ(s)≡ξ(1/2+is)。
　　
　　2.这是由于Γ函数没有零点，而s-1的唯一零点s=1又恰好不是ξ(s)的零点(因为ξ(1)=ξ(0)=-ζ(0)=1/2)。因此ξ(s)的零点只能出现在ζ(s)的零点处。
　　
　　3.Riemann虽然没有详细讨论上述无穷乘积表达式的证明，但他在写下与之等价的lnξ(s)的级数分解式之前提了一句：ξ(s)是一个关于(s-1/2)2的收敛极快的级数。这似乎暗示ξ(s)作为(s-1/2)2的级数的收敛方式与它的无穷乘积表达式之间存在着联系。Hadamard的证明确立了这种联系。此外，Riemann通过讨论ξ(s)的零点分布，而对lnξ(s)级数分解式的收敛性作了说明。虽然所有这些都因过于粗略而不足以构成证明，但这一暗一明两条思路后来都被证明是可以实现的。
　　
　　4.有意思的是，Hilbert一度曾对Riemann猜想的解决抱有十分乐观的看法。他在1919年所做的一次演讲中曾经表示在他自己的有生之年可望见到Riemann猜想的解决；在年轻听众的有生之年可望见到Fermat大定理的解决；而另一个问题——Hilbert第七问题——才是最困难的，因为谁也没有希望在有生之年看到它的解决。不料仅仅过了十几年，Hilbert就活着见到了他的第七问题的解决；七十五年后，Fermat大定理也被解决掉了；而Riemann猜想却是谁也没能活着见到它的解决。
　　
　　5.确切地说是Re(ρ)>0，但由于ρ与1-ρ总是同为零点，因此Re(ρ)>0也意味着Re(ρ)<1。
　　
　　6.确切地说这里要区分两个不同的问题：一个是证明逐项积分的可行性，另一个是计算级数中各个单项的积分。这一漏洞是出现在后一个问题之中的。
　　
　　7.这一结果反过来也成立，即假如素数定理与素数实际分布之间的绝对偏差为O(x1/2lnx)(这个条件还可以减弱为O(x1/2+ε))，则Riemann猜想必定成立。
　　
　　8.在不假定Riemann猜想成立的情况下，目前所能证明的素数定理与素数实际分布之间的绝对偏差的主项为x，远远大于Riemann猜想成立情况下的x1/2。
　　
　　二零零四年一月二日写于纽约
　　
　　二零零四年一月二日发表于本站
　　
　　二零一二年一月二十五日最新修订
　　
　　

来源：科学松鼠会

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