作者：学夫子 今天说的，是关于连分数里一个很古老的内容，那就是关于不定方程ax+by=c的解，其大体思想就是对分数a/b进行连分数展开，利用该连分数的最后两个渐进分数对其求解，相关的概念请先参考《连分数及其几何意义》。 我们首先还得介绍连分数的一个性质，假设数M展开后的连分数为： 为了方便，我们一般写成下面的浓缩形式： 对于一个有理数，其连分数的项数是有限的，除外都是无限的，假设其第k个渐进分数为pk/qk，那么有下面的性质 。……………………………………① 比如0.5306的连分数及其对应的渐进分数： 2×8-1×15=1；15×9-8×17=-1；17×26-9×49=1；…… 证明过程网上很多，比如维基百科里的词条《连分数》。 我们现在回过头来看我们的不定方程ax+by=c(a和b为互质的整数)。我们必须先明白这样一个道理: 对于不定方程ax+by=c，若a和b互质，则此不定方程一定有整数解，若(x0,y0)是这个方程的一个解，则此方程的解可表为：(x0-bt，y0+at)，其中t为任意整数。所以解此类不定方程就归结为求解初始解的问题。 现在将a/b展开为连分数形式，由于a/b为有理数，所以其连分数项数必定有限，现在设最后两个渐进分数为： 实际上最后一个渐进分数就是a/b本身，由于他们都是最简分数，所以pk=a，qk=b。根据式子①我们有： 为了方便，我们取+1,，对于-1的情况，可依葫芦画葫芦。即aqk-1-bpk-1=1，带入不定方程ax+by=c,然后化简得到： 也就是说，(cqk-1,-cpk-1)是该不定方程的一个解，那么整个不定方程的解就是： 将上式的x和y都解出来： 这就是这个不定方程ax+by=c的解的结构。当然，上面的所有，都是当式子①中取1的时候，若取的是-1，则另当别论。而是取-1还是1是由a/b连分数的项数决定，若项数为偶数，则为1，若是奇数，则为
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