著名的瓜分赌注问题

作者：学夫子
　　
　　这是概率论中一道非常有名的题目。今天在这里做一个简单的介绍。
　　
　　原题：假设在一次比赛中赢16次才算最终取胜，两名赌徒在一人赢了15次，另一人赢了12次的情况下，因事中断赌博，那么这两个赌徒应该如何瓜分赌金？
　　
　　我们凭着第一感觉能够想到的，就是两个人通过15比12的方式瓜分赌金。理由是那么地简单，因为两个人的“运气”付出是15比12。这个结论咋一看是非常合理的解释，但是细细一想，便发现其不合理之处：
　　
　　15比12，也就是说两个人分的赌金应该是差不多的，但是从另一个角度考虑，第一个人只需要在后面的赌局中赢一次，就可以把所有的赌金全部抱走，但是他的对手却需要连赢4次才能把赌金全部抱走。显然上面的分法很不合理。
　　
　　总共需要31次赌局才能分出胜负，现在已经赌了27局，还有4局没有赌。著名数学家卡丹诺(cardano)认为，我们的着眼点不应该是已经赌过的数据，而应该是剩下的次数。在这个问题中，以后的赌博有5中不同的结果，即前一个赌徒赢第一次，或者赢第二次‘或者赢第三次，或者赢第四次，或者一次都不赢。因为第一次赢有1种结果；第二次赢有两种结果(两次都赢，或者只赢第二次)；第三次赢有三种结果，第四次赢有四种结果。这四种结果都会使得前一个赌徒赢。所以卡丹诺认为，赌金应该按照(1+2+3+4):1=10:1的比例来分。
　　
　　但是对于卡丹诺的这个结果，存在着很大的争议。因为按照卡丹诺的算法，总共就只有11种可能的结果，事实上根据我们所学的概率论，后面的4次赌局中，总共应该有24=16种结果。除了已经占据优势的赌徒人品特别差，连输四局以外，其余的都是第一个赌徒获胜。所以赌金不应该按照15：12，也不应该按照10：1，而应该按照更加悬殊的比例15：1来分。
　　
　　我们不妨来看看卡丹诺到底错在哪里，错就错在，他对总的结果总数计算错误：第三次赢不应该只是三种结果，而应该有4种结果：3、1和3、2和3、1和2和3。第四次赢不应该是四种结果，而应该是8种结果。所以比例应该是(1+2+4+8):1=15:1。
　　
　　这个题还告诉我们：就算你非常接近于别人的成就又怎么样？就是因为别人更靠近成功，而你差了两步，所以别人就比你多出很多倍的收获……（来源：学夫子数学博客）