数学的奇妙：我们身边的概率和博弈问题

检验结果为阳性的概率为99.9％，非胃癌患者检验结果为阳性("假阳性")的概率为0.1％。假定某地区胃癌患病率为0.01％。问题是:
　　
　　(1)检验结果为阳性者确实患胃癌的概率(即确诊率)是多大？
　　
　　(2)如果"假阳性"的概率降为0.01％、0.001％和0，确诊率分别上升为多少？
　　
　　(3)用重复检验方法能提高确诊率吗？
　　
　　早在18世纪中叶，英国学者贝叶斯(Bayes)就提出"由结果推测原因"的概率公式(贝叶斯公式)。我们用"＋"表示阳性，用H、F分别表示胃癌患者和非胃癌患者，则由贝叶斯公式，确诊率为:P(H|＋)=P(＋|H)P(H)/P(＋)。
　　
　　问题(1)的答案是:确诊率为1/11；问题(2)的答案是:如果"假阳性"的概率降为0.01％、0.001％和0，确诊率分别上升为50％、90.9％和100％；问题(3)的答案是:有一定的提高，但大幅度提高的可能性很小。原因是"假阳性"主要是检验技术本身问题造成的，重复检验的结果相关性很大，不能按独立事件对待。
　　
　　五.在猜奖游戏中改猜是否增大中奖概率？
　　
　　这一问题出自美国的电视游戏节目’Let’smakeadeal’。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔。上世纪90年代曾在美国引起广泛和热烈的讨论。假定在台上有三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面各有一只山羊。主持人是知道哪扇门后面有汽车的。当竞猜者选定了一扇门但尚未开启它的时候，节目主持人去开启剩下两扇门中的一扇，露出的是山羊。主持人会问参赛者要不要改猜另一扇未开启的门。问题是:改猜另一扇未开启的门是否比不改猜赢得汽车的概率要大？答案是:改猜能增大赢得汽车的概率，从原来的1/3增大为2/3。也许有人对此答案提出质疑，认为改猜和不改猜赢得汽车的概率都是1/2。为消除这一质疑，不妨考虑有10扇门的情形，其中一扇门后面有一辆汽车，另外9扇门后面各有一只山羊。当竞猜者猜了一扇门但尚未开启时，主持人去开启剩下9扇门中的8扇，露出的全是山羊。显然:原先猜的那扇门后面有一辆汽车的概率只是1/10，这时改猜另一扇未开启的门赢得汽车的概率是9/10。
　　
　　六.如何设计对敏感性问题的社会调查？
　　
　　设想要对研究生论文抄袭现象进行社会调查。如果直接就此问题进行问卷调查，就是说要你直说你是否抄袭，即使这样的调查是无记名的，也会使被调查者感到尴尬。设计如下方案可使被调查者愿意做出真实的回答:在一个箱子里放进1个红球和1个白球。被调查者在摸到球后记住颜色并立刻将球放回，然后根据球的颜色是红和白分别回答如下问题:你的生日是否在7月1日以前？你做论文时是否有过抄袭行为？回答时只要在一张预备好的白纸上打√或打×，分别表示是或否。假定被调查者有150人，统计出共有60个√。问题是:有抄袭行为的比率大概是多少？已知:P(红)=0.5，P(√|红)=0.5，P(√)=0.4，求条件概率P(√|白)=？用贝叶斯公式算出的答案是30％。
　　
　　七.为什么企业间的"价格联盟"往往是短命的？
　　
　　在博弈论里有一个著名的"囚徒困境"问题:两个共同犯案囚徒不坦白也不揭发对方可能得到最轻的处罚(判刑1年)；如果一方坦白并揭发对方，另一方不坦白，坦白方判刑2年，不坦白方判刑10年；如果两方都坦白和揭发对方，各判刑5年。但一方总会怀疑另一方为了减刑而出卖自己，如果自己不坦白就会受到加重处罚，所以选择坦白和揭发对方是两个囚徒共同的最佳策略。因为在对方坦白前提下自己不坦白将被加重处罚。这是非合作博弈的"纳什均衡":任何一方单方面改变策略只能对自己造成不利。"纳什均衡"理论对人类社会有着广泛而深刻的意义。它已经深入到社会的政治、军事、文化、经济领域各个层面，成为人们思维的一部分。
　　
　　从博弈论的角度分析，在一个竞争的市场中，如果商品严重地供大于求，则要陷入"囚徒困境"。因为对任何供应商来说，最佳策略都是降价促销，以期获得更大的营业额，从而价格战不可避免。要从"囚徒困境"解脱，供应商被迫形成"价格联盟"。但每个商家都想自己偷着降价给自己带来好处。因此，价格联盟只能是短命的，因为它不是一个"纳什均衡"。
　　
　　八.为什么现实生活中"搭便车"现象不可避免？
　　
　　这首先要从博弈论中著名的"智猪博弈"故事说起

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