数学的奇妙：我们身边的概率和博弈问题

。这个故事有多种版本，其大意是说:在一个长长的猪圈里，有一头大猪和一头小猪，猪圈一端有个踏板，需要多次费力踩踏板，猪圈另一端才会落下一些食物到食槽。如果小猪去踩踏板，大猪会在小猪跑到食槽之前就吃完落下的9成食物，而小猪只能得到1成食物；如果是大猪踩踏板，则大猪能在小猪吃完3成落下的食物之前就跑到食槽，抢到其余的7成食物。假定踩踏板要费掉相当于2成食物转化的体能，两只猪各自会采取什么策略呢？对小猪而言，等待大猪去踩踏板是最佳策略，这就是所谓的"搭便车"策略。对大猪而言，由于知道小猪的等待是最佳策略，它不得不去踩踏板，这是它的唯一选择，否则它也要和小猪一样挨饿。在现实社会生活中，懒人和偷奸取巧的人从生活经验的积累中无意识地就学会了"搭便车"策略。
　　
　　九.为什么在多人非合作博弈中弱者有时反倒有利？
　　
　　下面是著名的"三个快枪手决斗"模型:甲、乙、丙同时开枪进行决斗，幸存者进入下一轮决斗。如果他们的命中率分别是0.9，0.8和0.5，则他们的最优策略是甲、乙互射，丙对准甲射击。结果是相对较弱的乙和丙结成了"暂时联盟"。三国时期的孙权和刘备就是结成了暂时联盟对付曹操的。通过概率计算，甲、乙、丙经过两轮决斗后幸存下来的概率分别是4.5％，5％，90.5％。当然，这一模型是理想化的数学模型，但它给了我们很好的启示:弱者在强者竞争的夹缝中幸存下来的例子在商界是层出不穷的。
　　
　　十.存在完美的民主选举制度吗？
　　
　　早在18世纪，法国思想家孔多赛就提出了著名的"投票悖论"(Votingparadox):假设甲乙丙三人面对a、b、c三个备选方案有如下的偏好次序:甲:a＞b＞c，乙:b＞c＞a，丙:c＞a＞b。
　　
　　如果对备选方案进行两两对决，投票结果是:a优于b，b优于c，c优于a，得出自相矛盾的结果！所以按照少数服从多数的投票规则，不一定能得出合乎大多数人意愿的所谓"社会偏好次序"。
　　
　　受到孔多赛的"投票悖论"的启发，1951年，美国著名数理经济学家阿罗用数学公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论(即阿罗"不可能"定理):当至少有3名候选人和2位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。由于他的"不可能"定理和在一般均衡理论方面的突出贡献获得了1972年诺贝尔经济学奖。按照著名经济学家萨缪尔森的评价，阿罗"不可能"定理可以和数理逻辑学中的哥德尔"不完备性定理"相媲美。
　　
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　　概率论(probabilitytheory)是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。
　　
　　概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家(相当于现在的赌场)赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。
　　
　　后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2个骰子连续掷24次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6，因此6倍于前一种规则的次数，也既是24次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。
　　
　　随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大

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