Riemann 猜想漫谈 (六)

ssel-Hagen(1898-1946)获得过，但Bessel-Hagen死于二战刚结束后的混乱年月中，他的遗物始终没有被人找到过。
　　
　　自Riemann的手稿存放在Göttingen大学图书馆以来，陆续有一些数学家及数学史学家前去研究。但只要想一想Riemann正式发表的有关Riemann猜想的论文尚且如此艰深，就不难想象研读他那些天马行空、诸般论题混杂、满篇公式却几乎没有半点文字说明的手稿该是一件多么困难的事情。许多人满怀希望而来，却又两手空空、黯然失望而去。
　　
　　Riemann的手稿就像一本高明的密码本，牢牢守护着这位伟大数学家的思维奥秘。
　　
　　但是到了1932年，终于有一位数学家从那些天书般的手稿中获得了重大的发现！这一发现一举粉碎了那些认为Riemann的论文只有直觉而无证据的猜测，并对Riemannζ函数非平凡零点的计算方法产生了脱胎换骨般的影响，让在第138个零点附近停滞多年的Euler-Maclaurin方法相形见拙。这一发现也将它的发现者的名字与伟大的Riemann联系在了一起，从此不朽。
　　
　　这位破解天书的发现者叫做CarlLudwigSiegel(1896-1981)，他是Riemann的同胞——一位德国数学家。
　　
　　注释
　　
　　1.由于Riemannζ函数在上半复平面与下半复平面的非平凡零点是一一对应的(请读者自己证明)，因此在讨论时只需考虑虚部大于零的零点。我们把这些零点以虚部大小为序排列，所谓“前15个零点”指的是虚部最小的15个零点。后文中所有此类说法的含义也都是如此。
　　
　　2.Euler-Maclaurin公式是一个将求和与积分联系起来的公式，它使得人们既可以用积分来逼近求和，也可以用求和来逼近积分，从而是一种很有用的近似计算手段。Euler-Maclaurin公式可以表述为：Σkf(k)=∫f(k)dk+1/2[f(m)+f(n)]+ΣjB2j/(2j)![f(2j-1)(n)-f(2j-1)(m)]。其中左端对(自然数)k的求和从m到n；右端对k的积分从m到n，对j的求和从1到∞；B2k为Bernoulli数(B2=1/6，B4=-1/30，B6=1/42，...)。Euler-Maclaurin公式的成立对函数f(k)有一定的要求。
　　
　　二零零四年二月十六日写于纽约
　　
　　二零零四年二月十六日发表于本站
　　
　　二零一二年一月二十九日最新修订
　　
　　

来源：科学松鼠会

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