Riemann 猜想漫谈 (十一)

种类型：
　　
　　如果体系不具有时间反演不变性，则体系的演化算符为幺正矩阵(unitarymatrices)。
　　
　　如果体系具有时间反演不变性，且T2=I，则体系的演化算符为正交矩阵(orthogonalmatrices)。
　　
　　如果体系具有时间反演不变性，且T2=-I，则体系的演化算符为辛矩阵(symplecticmatrices)。
　　
　　这里Dyson用演化算符U取代了哈密顿量H，这两者之间由U=exp(-iHt)相联系。用演化算符的好处是它的参数空间是紧致(compact)的。
　　
　　除了利用对称性对体系演化算符的结构进行分类外，还有一个需要解决的问题，就是哈密顿量的分布函数。Dyson引进的是Gauss型分布，这是数学物理中比较常见的一种分布。在这种分布下具有上述三种对称性的系综分别被称为：Gauss幺正系综(GaussianUnitaryEnsemble——简称GUE)、Gauss正交系综(GaussianOrthogonalEnsemble——简称GOE)和Gauss辛系综(GaussianSymplecticEnsemble——简称GSE)。
　　
　　Dyson在得知了Montgomery的密度函数时猛然想起的“随机厄密矩阵”所描述的正是这三种系综中的一种——即Gauss幺正系综——的哈密顿量(因为Gauss幺正系综的演化算符是幺正的，所对应的哈密顿量则是厄密的)，它的几率测度定义为Gauss型分布：
　　
　　P(H)dH=Cexp[-tr(H2)/2σ2]dH
　　
　　其中C为归一化常数，H为体系的哈密顿量，σ为标准差(通常取为2-1/2)。
　　
　　有了哈密顿量，接下来要关注的当然就是能级分布。对于一个量子体系来说，能级分布无论在理论还是观测上都是极其重要的性质。这也是随机矩阵理论中物理学家们最感兴趣的东西之一。物理学家所说的能级用数学术语来说就是哈密顿量的本征值(eigenvalue)。那么随机厄密矩阵的本征值是怎样分布的呢？分析表明，一个N阶随机厄密矩阵的本征值的分布密度为：
　　
　　P(λ1,...,λN)=Cexp[-Σiλi2]Πj>k(λj-λk)2
　　
　　其中λ1,...,λN为本征值，C为归一化常数。
　　
　　通过对这一分布密度的积分，我们可以计算出随机厄密矩阵本征值的各种关联函数。但是这些关联函数的表观复杂程度与本征值的平均间距有很大关系，因此我们要先对本征值做一点处理，以便简化结果。这一处理所依据的是Wigner曾经证明过的一个结果，那就是当矩阵阶数N→∞时，N阶随机厄密矩阵的本征值趋近于区间[-2(2N)1/2,2(2N)1/2]上的半圆状分布，即：
　　
　　P(λ)dλ=(8N-λ2)1/2dλ/4π
　　
　　其中P(λ)dλ为区间(λ,λ+dλ)上的本征值个数。这一规律被称为Wigner半圆律(Wignersemicirclelaw)。利用这一规律，我们可以对本征值做一个标度变换，引进：
　　
　　μ=λ(8N-λ2)1/2/4π
　　
　　可以证明(请读者自己证明)，这一变换就像我们在第十六节中对Riemannζ函数零点虚部所做的处理将零点的平均间距归一化那样，将本征值的平均间距归一化为了Δμ~1。在这种间距归一化的本征值下，关联函数的形式变得相对简单，其中对关联函数的计算结果为：
　　
　　P2(μ1,μ2)=1-[sin(π|μ2-μ1|)/π|μ2-μ1|]2
　　
　　看到这里，大家想必也和Dyson一样看出来了，随机厄密矩阵本征值的对关联函数正是我们在第十六节中介绍过的，Montgomery所猜测的Riemannζ函数非平凡零点的对关联函数！当然，那时候Montgomery用的不是像“对关联函数”这样摩登的术语，事实上“对关联函数”这一术语Montgomery在与Dyson交谈前连听都没听说过，他自己用的是像“我正在研究零点间距”那样土得掉渣的“白话文”。
　　
　　有些读者可能会提出这样一个问题，那就是哈密顿量的分布为什么要选择成Gauss型分布？对于这个问题，实用主义的回答是：Gauss型分布是数

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