形如a(n+1)=ka(n)+f(n)递推数列通项公式求法 |
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| 来源：不详 更新时间：2011-12-29 11:04:07 |
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我们曾经总结过通过数列递推关系推导数列通项公式的方法。其中有两种在中学阶段非常重要，一种是形如an+1-an=f(n),一种是an+1=kan+b。大家一定要熟练掌握其中方法。不过就是没有谈an+1=kan+f(n)的形式，因为这种形式还是比较有难度的，我们的什么构造等比数列法，累加法在这里都失效。不过有一种特殊情况，那就是当f(n)为幂函数的时候，即f(n)=nk(其中k为自然数)，当然后面加个常数啥的就不用考虑。
我们以一个例题说明
例题：已知数列{an}满足2an+1-an=n，a1=1/2，求an。
我们看见这一道题，第一个思路就应该是相累加：
哎呀，失败了，化简出来的Sn没办法求嘛。似乎这个方法没有什么门路了。不过一细看还是有点门道的——我们最终得出了一个关于Sn的一个递推关系，而且重要的是，这个递推关系跟an的关系式如此类似，就是右边的f(n)有点不一样，而且Sn右边的f(n)是二次多项式，an的右边是一次项。Sn比an高一次。我们就可以这样想了，如果an本身也是另一个数列{bn}的前n项和，那么会不会得到更低一次的关于bn的递推关系呢？an本身就是一次，比他第一次的就是常数，这就变成我们熟悉的an+1=kan+b形式了，求出bn，进而求出an，这不就解决了吗？
一说就做，我们令an为数列{bn}的前n项和
2an+1-an=n
bn+an+1=n
然后借助an+1-an=bn+1这个桥梁，得到递推关系：
2bn+1-bn=1
果然不出我们所料！得到一个关于bn的非常类似的递推关系，右边是一个常数，这就已经变成我们非常熟悉的类型了，利用我们在《数列通项公式求法基本题型及思路》里面介绍的方法，求出bn的通项公式为：
bn=1-(1/2)n.
然后利用等比数列求和公式求出bn的前n项和an。
an=(1/2)n+n-1.
经检验，[1] [2] 下一页
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