秦王暗点兵

　　秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。
　　物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为：“今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？”
　　这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？
　　变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。
　　这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
　　这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
　　我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？
　　这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
　　如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
　　例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
　　要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
　　最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
　　为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
　　我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
　　三人同行七十稀，
　　五树梅花甘一枝，
　　七子团圆正半月，
　　除百零五便得知。
　　“正半月”暗指15。“除百零五”的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
　　这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
　　按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
　　70×2+21×3+15×4=263，
　　263=2×105+53，
　　所以，这队士兵至少有53人。
　　在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
　　70是5与7的倍数，而用3除余1；
　　21是3与7的倍数，而用5除余1；
　　15是3与5的倍数，而用7除余1。
　　因而
　　70×2是5与7的倍数，用3除余2；
　　21×3是3与7的倍数，用5除余3；
　　15×4是3与5的倍数，用7除余4。
　　如果一个数以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，
　　70m+21n+15k(1≤m＜3,1≤n＜5,1≤k＜7)
　　能同时满足“用3除余m、用5除余n、用7除余k”的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。
　　我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？
　　为了求出是5与7的倍数而用3除余

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