数学的奇妙：我们身边的概率和博弈问题

在很多人眼里，数学是书本上的知识，是研究者的领域，而事实上，在我们的生活中，数学无处不在，其中具有典型意义的就是概率和博弈问题。只要留心，生活处处存在概率和博弈，了解并学会如何运用它们，会使我们解决生活中的问题变得简单化，往往让我们意想不到。
　　
　　中世纪欧洲盛行掷骰子赌博，其中提出许多很有趣的概率问题。当时法国的帕斯卡、费尔马和旅居巴黎的荷兰数学家惠更斯都对此类问题感兴趣，他们用组合数学研究了许多与掷骰子有关的概率计算问题。自20世纪30年代柯尔莫哥洛夫提出概率公理化以来，概率论迅速发展成为数学领域里一个相对较新的和充满活力的学科，并且在工程、国防、生物、经济和金融等领域得到了广泛的应用，而且与人们的生活有着密切的联系。拉普拉斯有一句名言:“生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题”。
　　
　　在遵守一定“游戏规则”的前提下，具有竞争或对抗性的行为称为“博弈”，比如打牌、下棋、企业经营或国际间的政治和军事谈判等。博弈的思想历史渊源悠久。《史记》中就记载了战国时期“田忌赛马”的故事，这是运用博弈思想以弱胜强的经典例子。《孙子兵法》中含有丰富而深刻的博弈论思想。1944年美国数学家冯·诺伊曼和摩根斯特恩的著作《博弈论与经济行为》创立了博弈论这门学科。上世纪80年代以后，博弈论已经成为整个社会科学特别是经济学的核心。著名经济学家萨缪尔森认为:要想成为现代社会中有文化的人，必须对博弈论有大致的了解。
　　
　　下面我试图通过若干例子来向大家展示概率论和博弈论是如何成为我们“日常生活指南”的。
　　
　　一."生日悖论"
　　
　　n个人中至少有两人生日相同的概率P(n)是多少？这是有名的"生日问题"。答案是:对于n≤365，P(n)=1－Q(n)，其中Q(n)为n个人生日都不相同的概率:
　　
　　下面是一张对照表:
　　
　　令人难以置信的是:随机选取的23人中至少两人生日相同的概率居然超过50％，50人中至少两人生日相同的概率居然达到97％！这和人们的直觉是抵触的。因此这一结果被称为生日悖论，尽管它在数学上是正确无误的。理解"生日悖论"的关键在于任意两个人的搭配方式可以很多，例如23个人可以产生23×22/2=253种不同的搭配。
　　
　　二.如何理解社会和大自然中出现的奇迹？
　　
　　对单个彩民和单次抽奖来说，中乐透头奖的概率是2250万分之一，但到2008年之前，在"纽约乐透"史上发生过3次一人中两次头奖的事件。例如，2007年8月30日美国纽约的安杰洛夫妇喜中"纽约乐透"头奖，获得500万美元奖金。他们1996年与另外3人共分了1000万美元头奖。这真是堪称一个奇迹。
　　
　　在河北省著名旅游景点野三坡的蚂蚁岭左侧，断崖边缘有一块直径10米、高4米的"风动石"，此石着地面积不足覆盖面积的1/20，尤其基部接触处只有两个支点。这也算是一个奇迹。
　　
　　从概率论观点看，上述两个奇迹的发生并不奇怪，因为即使是极小概率事件，如果重复很多次，会有很大概率发生。"纽约乐透"每周三及周六晚间各开奖一次，每年开奖104次，15年间经历约1500次开奖。假定以前中过"纽约乐透"头奖的人还经常买"纽约乐透"彩票，而且他们下的总注数每次超过3000注(注意:中过大奖的人一次可能下很多注)，那么在15年间他们之中有人再中头奖的概率超过1/5，这已经不是很小的概率了。大自然中的奇迹是地壳在亿万年的变迁中偶然发生的，但这种奇迹在历史的长河中最终出现则是一种必然现象。
　　
　　三.在分组对比中占优，总体上一定占优吗？
　　
　　答案是:不一定！下面是一个例子。假定有两种药(A和B)，要通过分组临床试验对比其疗效。以下是试验结果的统计表:
　　
　　从甲乙两组试验结果看，药物A的疗效都优于药物B，但总体来看，药物B的疗效反而优于药物A。早在20世纪初，当人们为探究两种因数是否具有某种相关性而进行分组研究时就发现了这种现象:在分组比较中都占优势的一方，在总评中反而是劣势。直到1951年英国统计学家辛普森在他发表的论文中才正式对这一现象给予理论解释。后人就把这一现象称为"辛普森悖论"。
　　
　　四.如何评估疾病诊断的确诊率？
　　
　　假想有一种通过检验胃液来诊断胃癌的方法，胃癌患者

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