谈数学的美_科普之友

宙的图形。由宇宙美神得到的黄金矩形是最令人心醉的优美图形之一。它在形式比例上具有相当高的美学价值。因而，日常生活中的许多物品，诸如像柜、图书、杂志、火柴盒及至国旗都采用了这一优美的图形，以带给人们更多的美感的享受。
　　
　　对称均衡是数学形式美的主要特征。各种对称或均衡图形如等边三角形、圆、双曲线……及著名的杨辉三角形等，都会带给人们美的享受。
　　
　　然而数学带给人们的美远不止这直观的形式美。正如人的美不单在外表，更在内心一样，数学的深刻的本质的更加诱惑人的离奇古怪宽广无际的美却在于它内在奇妙结构的完美的和谐统一性。
　　
　　数学中的美，不是以艺术家所用的色彩、线条、旋律等形象语言表现出来，而是把自然规律抽象成一些概念、定理或公式，并通过演绎而构成一幅现实世界与理想空间的完美图象。只有数学内在结构的美，才更令人心驰神往与陶醉。它的博大精深与简明透彻都给观赏者以巨大的美的感染。
　　
　　数学内在美的标准在于它的真实、准确简洁、和谐与普遍。
　　
　　真中见美，是数学内在美的重要特征之一。真与美总是紧密相连的，而数学堪称真的楷模。正确性是数学中绝对的准则。但这种真，却是源于生活，而高于生活。如从实践中得到的点、线、面就是高于生活的完美的、理想化的图形――理想直线只具有长度，两条理想的、完美的，准直的理想直线，相交于一个理想的、完美的点，而这个点除了位置以外竟压根儿就没有大小；数学中所定义的圆，比任何画家和文学家所能描绘的都更加完美无缺。正是这种真实与正确，使数学显示出它特有的美的魅力，使它能延续几千年乃至永久。
　　
　　简洁性、和谐性与普遍性三者的统一，是数学内在美的另一重要特征。简洁是数学中引人注目的美感之一。通行世界的符号可算是最简洁的文字，精炼准确的数学概念和定理的表述，可算是最简洁的语言。数学以其简洁的形式，从一组简洁明了的公理、概念出发而推证出各种令人惊叹的定理和公式，使人们洞察到其内在的和谐性和秩序性，从中产生一种崇高、博大，妙不可言的审美感受。正如绘图时用三种原色绘制出各种色彩缤纷的图画或简谱中凭借七个音符谱写出各种令人心醉的乐章所带给人们的艺术美的享受一样。从这一组定义、公理出发，演绎出一套逻辑体系，从而建成一座巍峨的数学大厦，这是众多数学家乐意玩的游戏。而欧几里德正是玩弄这种游戏的第一位大家。当他把欧氏几何的逻辑体系呈现在世人面前时，世人为这一壮举所折服了、迷住了。爱因斯坦感叹道：这是人类一个可赞叹性的胜利。更有人断言：能觊觎美神真面目的，唯欧几里得一人而已。
　　
　　二战后的布尔巴基学派更把数学公理化的浪潮推向了高峰。数学的严谨、简洁在这浪潮得到了充分的体现。这时的数学，遵循着“不漏不重原则。”如同求轨迹问题的解时，应做到纯粹性与完备性的统一。数学家找到的那组公理，应该是少一个不行，多一个不要，在不多不少，恰好够用的公理基础上，得出一套严谨的逻辑体系，建成一座座数学的大厦。毕达哥拉斯说过：凡是美的东西都具有一个共同特征，这就是部分部分彼此之间，以及部分与整体间固有的协调一致。这协调一致产生的和谐美，在一座座数学大厦中都得到了体现。然而当随着数学的发展，一座座原本各自为政，不通有无的数学大厦之间忽然架起各式各样的友谊之桥时，人们就会为这以前没有认识到的亲缘关系而大吃一惊，同时产生一种出乎意料、不期而遇的美的享受，更领略到数学内部结构的和谐美。如，早期的代数与几何之间曾是若即若离，而当两者间的友谊信鸽――解析几何――诞生，就使两者紧密联系在一起，再也分不开了。如今数形统一的观点早已深入人心，人们亦从中感觉到了数和形的调和美。再如，概率学作为研究偶然现象的科学，因其显得特异，甚至曾一度被排斥在数学殿堂之外，而当实变函数论形成后，它作为一种特殊的测度，而理所当然地被请进了数学的大雅之堂。现在，各个数学分支间已形成了各式各样、错综复杂的关系网，一座座原先孤立的数学大厦已联结成为一个整体。数学已成为由各个数学分支紧密结合而成的和谐统一体。这时，数学家似乎可以高枕在数学大厦之巅，让世人尽情观摩数学的美了。不，如同物理学家总醉心于寻求宇宙之砖一样，数学家还要据探求建成数学大厦的基石。20世纪初，康托尔的集合论被普遍接受后，庞加莱自傲且自信地在巴黎国际数学会议上宣称道：数学的严格性，看来直到今天才说是实现了。集合论奠定了数学大厦的基础。数学的最后基石和终极意义的问题获得了圆满地解决。直到这时，数学的美才在世人面前一览无余了。人们已经能够直接领略到数学内部结构有机联系的美妙图景，并为这美所陶醉了。
　　

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