魅力无穷的完全数

中n是素数，2n-1也是素数”，并给出了他一直没有发表的证明。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得与欧拉两个互逆定理，公式2n-1(2n-1)成为判断一个偶数是不是完全数的充要条件了。
　　
　　欧拉研究“梅森猜测”后指出：“我冒险断言：每一个小于50的素数，甚至小于100的素数使2n-1(2n-1)是完全数的仅有n取2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。”
　　
　　1772年，欧拉因过度拼命研究双目已经失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经心算证明n＝31时，230(231-1)是第8个完全数。”同时，他发现他过去认为n=41和n＝47时是完全数是错误的。
　　
　　欧拉定理和他发现的第8个完全数的方法，使完全数的研究发生了深刻变化，可是，人们仍不能彻底解决“梅森猜测”。
　　
　　1876年，法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明n＝127时确实是一个完全数，这使“梅森猜测”之一变成事实，鲁卡斯的新方法给研究完全数者带来生机，同时也动摇了“梅森猜测”。因数学家借助他的方法发现猜测中n＝67，n＝257时不是完全数。
　　
　　在以后1883——1931年的48年间，数学家发现“梅森猜测”中n≤257范围内漏掉了n＝61，89，107时的三个完全数。
　　
　　至此，人们前仆后继，不断另辟新路径，创造新方法，用笔算纸录，耗时二千多年，共找到12个完全数，即n＝2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127时，2n-1(2n-1)是完全数。
　　
　　笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完全人亦非易事。”历史证实了他的预言。
　　
　　从1952年开始，人们借助高性能计算机发现完全数，至1985年才找到18个，多么可怜！
　　
　　等待揭穿之谜
　　
　　迄今为止，发现的30个完全数，统统都是偶数，于是，数学家提出猜测：存不存在奇数完全数。
　　
　　1633年11月，法国数学家笛卡尔给梅森一封信中，首次开创奇数完全数的研究，他认为每一奇完全数必具有PQ2的形式，其中P是素数，并声称不久他会找到，可不仅直到他死时未能找到，而且至今，没有任何一个数学家发现一个奇完全数。它成为世界数论又一大难题。
　　
　　虽然，谁也不知道它们是否存在，但经过一代又一代数学家研究计算，有一点是明确的。那就是如果存在一个奇完全数的话，那么它一定是非常大的。有多大呢？远的不说，当代大数学家奥尔检查过1018以下自然数，没有一个奇完全数；1967年，塔克曼宣布，如果奇完全数存在，它必须大于1036，这是一个37位数；1972年，有人证明它必大于1050；1982年，有人证明，它必须大于10120；……这种难于捉摸的奇完全数也许可能有，但它实在太大，以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。
　　
　　对奇完全数是否存在，产生如此多的估计，也是数学界的一大奇闻！
　　
　　关于完全数还有许多待揭之谜，比如：完全数之间有什么关系？完全数是有限还是无穷多个？存在不存在奇完全数？
　　
　　人们还发现完全数的一个奇妙现象，把一个完全数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到一个数，一直这样做下去，结果一定是1。例如，对于28，2＋8＝10，1＋0＝1；对于496有，4＋9＋6＝19，1+9＝10，1＋0＝1等等。这一现象，对除6外的所有完全数是否成立？
　　
　　以上这些难题，与其它数学难题一样，有待人们去攻克。尽管我们现在还看不到完全数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律。探索自然规律，揭开科学上的未知之谜，正是科学追求的目标。（来源：数苑）

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