有限单群：一段百年征程

限单群当之无愧的第一人。是他首先发现所谓的交错群A_n对于所有n>=5都是单群，从而不是可解群。正是从这个结果出发，他证明了高于五次的方程一般而言没有根式解。而数学家此前对数论的研究也容易导出另一族的单群：素数阶的循环群Z_p。它们也是唯一的交换单群，也就是说运算满足交换律（a·b=b·a）的单群。
　　
　　无需太纠结为何这些群取这样的名字。对于数学家而言，群就像是宠物，给宠物取的名字可能反映了宠物的性格，也可能是纯粹的趣味。但名字毕竟只是名字，只是称呼这些群的一种方式而已。
　　
　　像这样整个家族出现的单群，还有16族所谓的有限李群，它们可以看作离散域上的矩阵组成的群。对它们的系统化研究是由挪威数学家SophusLie开始的，所以后人以此命名。而其中首先被发现的是所谓的射影特殊线性群PSL_n(q)，其中q是一个素数的幂。在伽罗华生命最后的那封信上，就已经提到PSL_2(p)对于大于3的素数p是单群。后来Chevalley对其进行了更深入的研究，将其推广到一般的素数的幂。对于其余的15族有限李群，Chevalley也功不可没。
　　
　　除了这一共18个有限单群家族之外，还有26个单独存在的有限单群。它们不属于任何一个家族，而它们之间也没有一个统一的联系，三三两两各自放浪于数学天地之间。数学家给他们起了个相当适合的名字：散在单群。它们是单群中自成一派的例外。成家族出现的单群结构总是相似的，而散在单群却各有各的美丽。
　　
　　同时进行的则是证明这就是所有的有限单群，这就是所谓的有限单群分类定理。如果将寻找单群比作在森林里抓兔子的话，有限单群分类定理的证明则是确保森林里所有的兔子都被抓光了。这就要求数学家对森林的地形——也就是有限群的结构——有一定的了解。
　　
　　从某种意义上，整个证明可以追溯到1872年的Sylow定理。这个定理不仅使数学家开始明白有限群更深层的结构，也为后来对各种群的分类讨论提供了武器。而真正明确提出对有限单群分类的，则是1892年的Hölder。他同时也证明了，每一个非交换有限单群的元素个数，是至少四个素数的乘积。
　　
　　从此开始便是百年的征程，对数学家更不利的一面是，出发的时候还不知道森林里有多少兔子要抓。事实上，分类定理的证明和对有限单群的寻找，很大程度上是交错叠积的。有时是证明的途中，忽然找到了又一个新的有限单群；有时是对于已有的单群的研究启发了证明。这也是可以理解的，毕竟这是研究同一件事物的两条路径。
　　
　　所以，当1983年Gorenstein宣称有限单群分类定理被证明之时，群论学界可是欢呼雀跃。整个证明散落在各期刊的500多篇论文之中，合计过万页，每篇论文都对某种特殊情况进行了处理。将这些特殊情况合起来，覆盖了绝大多数的有限群类别，而Gorenstein认为，他的新论文恰好补上了仍未处理的那些有限群，从而完成了整个分类定理的证明。
　　
　　问题是，他弄错了。他以为一类名为“拟薄群”（quasi-thingroup）的类别已经被处理好了，但事实上没有。直到2004年，由Aschbacher和Smith撰写的一篇一千多页的论文才将这个情况完全处理妥当，从而填补了这个漏洞。此时，有限单群分类定理，这个有限群理论的圣杯，才正式被圆满证明。
　　
　　18个有限单群家族，再加上26个散在单群，这就是所有的有限单群。从伽罗华开始历时一个多世纪，跨越两次世界大战的搜索，随着1976年最后一个散在单群被发现，2004年有限单群分类定理的最终证明，这场数学家和有限单群之间的捉迷藏游戏才告结束。这个列表，包含着数代数学家辛勤的汗水，大概还有不少的咖啡、粉笔、墨水和纸。
　　
　　故事仍未结束。在所有有限单群中，那些散在单群特别令人在意。成它们的出现看似无章可循，没有什么必然的规律。但是，尽管有着“散在单群”这个名字，它们并非与世隔绝之徒。最有名的例子，莫过于那个最大的散在单群——魔群（MonsterGroup）。
　　
　　意料之外的联系
　　
　　魔群是在1973年被Fischer和Griess分别独立发现的。虽然它是最大的散在单群，但它并不是最后一个被发现的。实际上，“魔群”这个名字就源于它庞大的体积。魔群的准确元素个数是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8*1

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