Riemann 猜想漫谈 (二十)大结局

零点的附近)，那我们再算上几辈子也未必能碰到数值反例。因此，有关Riemann猜想的数值证据虽然不容忽视，说服力却是很有限的。
　　
　　当然，除了数值证据外，我们还有许多有关Riemann猜想的解析证据，比如第二十八节中提到的Conrey所证明的2/5的非平凡零点在临界线上。可惜这也远远不够(连一半都不到嘛)。支持Riemann猜想的其它理由还包括了一些在假定Riemann猜想成立的基础上被证明过的数学命题后来被发现不假定Riemann猜想的成立也能被证明，这表明Riemann猜想与那些命题、或者说与数学的其它部分有很好的相容性。此外，我们在第三十三节中介绍过的“山寨版”Riemann猜想的成立也被认为是支持Riemann猜想的一条很强的理由。
　　
　　不过，相信Riemann猜想的数学家们各有各的理由，不相信Riemann猜想的数学家们则只要一条理由就够了，那就是：所有支持Riemann猜想的理由都不是证明。在数学上，这是一条打不倒的理由。而且，要想证明Riemann猜想成立，必须“一个都不能少”地涵盖所有的非平凡零点；而要想推翻它，却只要找到一个反例就够了，这种繁简程度上的不对称性也是大大有利于不相信黎曼猜想的数学家们的。当然，个别数学家还有自己更独特的理由，比如我们在第九节中提到的那位曾在Riemann猜想研究上作出过重大成就，后来却表示“假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的，日子会过得更舒适些”的Littlewood不相信Riemann猜想的理由是“一个长期不能解决的分析领域中的猜想通常会被发现是错误的，一个长期不能解决的代数领域中的猜想则通常会被发现是正确的”。由于Riemann猜想是一个“长期不能解决的分析领域中的猜想”，因此Littlewood认为它很可能是错误的。Littlewood没有为自己的理由列举具体的例子(起码我没查到)，不过我想他对Li(x)-π(x)>0这一猜想的否证也许是他心目中的例子之一。但他这个理由其实也没什么说服力，比如我们上面提到过的被deBranges所证明的Bieberbach猜想就是一个几十年不能解决的分析领域中的猜想，结果却被证明是正确的(当然，那是Littlewood去世之后的事情了)。
　　
　　除了上述这两种非此即彼的态度外，还有少数人由Riemann猜想的长期悬而未决联想到了著名的Gödel不完全性定理(Gödel'sincompletenesstheorem)，认为Riemann猜想有可能是一个在现有分析体系内不可判定——即既不能证明其成立也不能证明其不成立——的命题。据说Gödel本人就有过这种看法。不过，对于像Riemann猜想那样如果不成立就可以用明确的算法——即按虚部从小到大的顺序对零点进行逐一验证——来予以推翻的命题，如果真有人能证明它是一个不能证明其不成立的命题(有点拗口)，实际上等于表明它是成立的——因为否则的话只要用那个算法，原则上总可以验证到使Riemann猜想不成立的第一个反例，从而证明其不成立。因此如果Riemann猜想真的不可判定，那实际上是表明它成立[注八]。
　　
　　在本系列的最后，让我们“饮水思源”，一同去看一眼Riemann的墓碑，这位伟大的数学家只度过了39年10个月零3天的短暂人生，就于1866年7月20日在意大利的一座湖畔小镇去世了。据他生前挚友Dedekind的描述，Riemann直到去世前的那一天，仍坐在一棵果树下进行着数学探索，当那最后的时刻到来时：
　　
　　他没有一丝的挣扎及临终前的抽搐，仿佛他是在饶有兴致地观看着灵魂与肉体的分离。他妻子为他拿来了面包和葡萄酒，他让她向家里人代为致意，并对她说：“亲吻我们的孩子”。她为他念诵祷文，他自己已无法说话。当她念到“赦免我们的罪过”时，他的眼光虔诚地望向天空。她感到他的手在渐渐变冷，在呼吸了几次之后，他那纯洁而高贵的心脏停止了跳动。
　　
　　Riemann去世后一度被葬在当地一座教堂的墓地里，可惜那墓穴却在后来的一次教堂地产的重组中遭到了损毁，如今保留下来的只有一块墓碑，嵌在离原址不远处的一堵墙上。
　　
　　

BernhardRiemann的墓碑

上一页 [1] [2] [3] [4] [5] [6] 下一页