回文数与镜反数的奥秘

622＝262＋682＋842＋422
　　
　　243＋483＋863＋623＝263＋683＋843＋423
　　
　　是否所有类似的镜反数都有这个性质呢？
　　
　　六、镜反数等式。你喜欢这种算式吗：18×891=81×198，它具有一种对称的美，这样的恒等式正是镜反数创造的奇迹，图2是我们用9个这样对称性等式，构造成一个反序等积幻方对。四个均衡一律的幻方，以反序的数对表现对称之妙。右边是左边的镜象反射，左边的对应两数之积与右边对应两数之积又奇迹般地相等。欣赏这种和谐的关系式，尤如听到一首甜美的笛声，让人在理性的思维道路上，突然兴奋起来，愉悦之情悠然而生。
　　
　　233613
　　
　　×352693341
　　
　　=326331
　　
　　×253396143
　　
　　142434451462473414243154264374
　　
　　351225583231572532152385132275
　　
　　那么这样的镜反数等式有多少呢？我们可以随意构造吗？香港黄志华先生对镜反数有过较深入的探讨，他曾提出这样一个问题：寻找整数A，B，满足这样的关系式：A×MI（A）＝B×MI（B）。比方说168×861＝294×492;1456×6541＝2743×3472;13248×84231＝23184×48132.
　　
　　构造这类满足回文积等式的数组，黄志华发明了一种生成数的方法。如果整数a，b在下列四种乘积计算过程中都没有进位：
　　
　　（1）a×b；（2）MI（a）×b；（3）a×MI（b）；（4）MI（a）×MI（b）。
　　
　　那么我们如果令P=a×b，Q=MI（a）×b。我们会发现有下面的性质：
　　
　　MI（P）=MI（a）×MI（b），MI（Q）=a×MI（b），
　　
　　因此P×MI（P）＝a×b×MI（a）×MI（b）＝MI（a）×b×a×MI（b）=Q×MI（Q）。a，b就叫做镜反数等式的生成数，很明显的它们不会是回文数，即不可以有MI（a）=a和MI（b）＝b，个位数也不会是0。
　　
　　在a，b都是两位数时，可以证明只有四组：（a，b）=（12，12），（12，13），（12，14），（12，23）。我们看这些数对应的P，Q是什么？
　　
　　a=12，b＝12，P＝144，Q＝252，可得镜反数等式：144×441=252×252；
　　
　　a＝12，b＝13，P＝12×13＝156，Q=21×13＝273，可得镜反数等式：156×651＝273×372；
　　
　　a＝12，b＝14，P＝12×14＝168，Q＝21×14＝294，可得镜反数等式：168×861=294×492；
　　
　　a＝12，b＝23，P＝12×23＝276，Q＝21×23＝483，可得镜反数等式：276×672＝483×384。
　　
　　利用生成数原理，还可以得到其他多位数回文积数组。例如
　　
　　令a＝13，b=122，P＝13×122=1586，Q＝31×122＝3782，可得镜反数等式：1586×6851＝3782×2873；令a＝102，b＝143，P＝102×143＝14586，Q＝201×143＝28743，可得镜反数等式：14586×68541＝28743×34782。令a＝27，b＝10011，P＝27×10011＝270297，Q＝72×10011＝720792，可得镜反数等式：270297×792072＝720792×297027。
　　
　　把这个方法再变化一下，不难构作出A1×MI(A1)＝A2×MI(A2)＝……＝An×MI(An)…
　　
　　生成数方法仍旧可用，例如当ｎ＝４，只要找出适当的生成数a，b，c，使
　　
　　A1＝a‧b‧c，
　　
　　A2＝ab‧MI©，
　　

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